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Développement et factorisation
Utiliser la distributivité - Exercice 3
10 min
20
Question 1
3
(
−
10
x
+
13
)
\;3(-10x+13)
3
(
−
10
x
+
13
)
Correction
Méthode pour développer une expression.
Définition
: Développer une expression, c'est la transformer en somme.
1°)
Développement d'un nombre par une somme
: Si on considère 3 nombres relatifs,
(
k
,
a
,
b
,
)
(k,\;a,\;b,)
(
k
,
a
,
b
,
)
,
\;
alors :
k
(
a
+
b
)
=
k
×
a
+
k
×
b
{\color{red}\boxed{k(a+b)=k\times{a}+k\times{b}}}
k
(
a
+
b
)
=
k
×
a
+
k
×
b
Important :
k
(
a
+
b
)
{k(a+b)}
k
(
a
+
b
)
peut se lire
k
k
k
fois
(
a
+
b
)
(a+b)
(
a
+
b
)
ou
k
\color{red}k
k
facteur de
(
a
+
b
)
(a+b)
(
a
+
b
)
.
3
(
−
10
x
+
13
)
\;3(-10x+13)
3
(
−
10
x
+
13
)
3
(
−
10
x
+
13
)
⇒
\;3({\color{blue}-10x}+{\color{red}13})\;\Rightarrow\;
3
(
−
10
x
+
13
)
⇒
est de la forme :
k
(
a
+
b
)
k({\color{blue}a}+{\color{red}b)}\;
k
(
a
+
b
)
avec :
k
=
3
,
a
=
−
10
x
e
t
b
=
13
k=3, {\color{blue}a=-10x}\;et\;{\color{red}b=13}
k
=
3
,
a
=
−
10
x
e
t
b
=
13
3
(
−
10
x
+
13
)
=
3
×
(
−
10
x
)
+
3
×
13
\;3({\color{blue}-10x}+{\color{red}13})=3\times({\color{blue}-10x})+3\times{\color{red}13}
3
(
−
10
x
+
13
)
=
3
×
(
−
10
x
)
+
3
×
13
3
(
−
10
x
+
13
)
=
−
30
x
+
39
\;3({\color{blue}-10x}+{\color{red}13})={\color{black}\boxed{-30x+39}}
3
(
−
10
x
+
13
)
=
−
30
x
+
39
Question 2
−
5
(
−
9
x
−
6
)
\;-5(-9x-6)
−
5
(
−
9
x
−
6
)
Correction
−
5
(
−
9
x
−
6
)
\;-5(-9x-6)
−
5
(
−
9
x
−
6
)
−
5
(
−
9
x
−
6
)
⇒
\;-5({\color{blue}-9x}-{\color{red}6})\;\Rightarrow\;
−
5
(
−
9
x
−
6
)
⇒
est de la forme :
k
(
a
−
b
)
k({\color{blue}a}-{\color{red}b)}\;
k
(
a
−
b
)
avec :
k
=
−
5
,
a
=
−
9
x
e
t
b
=
6
k=-5, {\color{blue}a=-9x}\;et\;{\color{red}b=6}
k
=
−
5
,
a
=
−
9
x
e
t
b
=
6
−
5
(
−
9
x
−
6
)
=
(
−
5
)
×
(
−
9
x
)
−
(
−
5
)
×
6
\;-5({\color{blue}-9x}-{\color{red}6})=(-5)\times({\color{blue}-9x})-(-5)\times{\color{red}6}
−
5
(
−
9
x
−
6
)
=
(
−
5
)
×
(
−
9
x
)
−
(
−
5
)
×
6
−
5
(
−
9
x
−
6
)
=
45
x
−
(
−
30
)
⇒
\;-5({\color{blue}-9x}-{\color{red}6})=45x-(-30)\;\Rightarrow\;
−
5
(
−
9
x
−
6
)
=
45
x
−
(
−
30
)
⇒
(Ici, on fait attention à la règle des signes, lors des multiplications).
−
5
(
−
9
x
−
6
)
=
45
x
+
30
\;-5({\color{blue}-9x}-{\color{red}6})={\color{black}\boxed{45x+30}}
−
5
(
−
9
x
−
6
)
=
45
x
+
30
Question 3
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
\;-10x(-3x+5)
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
Correction
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
\;-10x(-3x+5)
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
⇒
\;-10x({\color{blue}-3x}+{\color{red}5})\;\Rightarrow\;
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
⇒
est de la forme :
k
(
a
+
b
)
k({\color{blue}a}+{\color{red}b)}\;
k
(
a
+
b
)
avec :
k
=
−
10
x
,
a
=
−
3
x
e
t
b
=
5
k=-10x, {\color{blue}a=-3x}\;et\;{\color{red}b=5}
k
=
−
10
x
,
a
=
−
3
x
e
t
b
=
5
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
=
−
10
x
×
(
−
3
x
)
+
(
−
10
x
)
×
5
\;-10x({\color{blue}-3x}+{\color{red}5})=-10x\times({\color{blue}-3x})+(-10x)\times{\color{red}5}
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
=
−
10
x
×
(
−
3
x
)
+
(
−
10
x
)
×
5
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
=
30
x
2
+
(
−
50
x
)
⇒
\;-10x({\color{blue}-3x}+{\color{red}5})=30x^2+(-50x)\;\Rightarrow\;
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
=
30
x
2
+
(
−
50
x
)
⇒
(Ici, on fait attention à la règle des signes, lors des multiplications).
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
=
30
x
2
−
50
x
\;-10x({\color{blue}-3x}+{\color{red}5})={\color{black}\boxed{30x^{2}-50x}}
−
10
x
(
−
3
x
+
5
)
=
30
x
2
−
50
x
Question 4
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
\;-12x(-5x-3)
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
Correction
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
\;-12x(-5x-3)
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
⇒
\;-12x({\color{blue}-5x}-{\color{red}3})\;\Rightarrow\;
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
⇒
est de la forme :
k
(
a
−
b
)
k({\color{blue}a}-{\color{red}b)}\;
k
(
a
−
b
)
avec :
k
=
−
12
x
,
a
=
−
5
x
e
t
b
=
3
k=-12x, {\color{blue}a=-5x}\;et\;{\color{red}b=3}
k
=
−
12
x
,
a
=
−
5
x
e
t
b
=
3
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
=
−
12
x
×
(
−
5
x
)
−
(
−
12
x
)
×
3
\;-12x({\color{blue}-5x}-{\color{red}3})=-12x\times({\color{blue}-5x})-(-12x)\times{\color{red}3}
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
=
−
12
x
×
(
−
5
x
)
−
(
−
12
x
)
×
3
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
=
60
x
2
−
(
−
36
x
)
⇒
\;-12x({\color{blue}-5x}-{\color{red}3})=60x^2-(-36x)\;\Rightarrow\;
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
=
60
x
2
−
(
−
36
x
)
⇒
(Ici, on fait attention à la règle des signes, lors des multiplications).
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
=
60
x
2
+
36
x
\;-12x({\color{blue}-5x}-{\color{red}3})={\color{black}\boxed{60x^{2}+36x}}
−
12
x
(
−
5
x
−
3
)
=
60
x
2
+
36
x
Question 5
−
11
x
(
4
x
−
2
)
\;-11x(4x-2)
−
11
x
(
4
x
−
2
)
Correction
−
11
x
(
4
x
−
2
)
\;-11x(4x-2)
−
11
x
(
4
x
−
2
)
−
11
x
(
4
x
−
2
)
⇒
\;-11x({\color{blue}4x}{\color{red}-2})\;\Rightarrow\;
−
11
x
(
4
x
−
2
)
⇒
est de la forme :
k
(
a
−
b
)
k({\color{blue}a}-{\color{red}b)}\;
k
(
a
−
b
)
avec :
k
=
−
11
x
,
a
=
4
x
e
t
b
=
2
k=-11x, {\color{blue}a=4x}\;et\;{\color{red}b=2}
k
=
−
11
x
,
a
=
4
x
e
t
b
=
2
−
11
x
(
4
x
−
2
)
=
−
11
x
×
4
x
−
(
−
11
x
)
×
2
\;-11x({\color{blue}4x}-{\color{red}2})=-11x\times{\color{blue}4x}-(-11x)\times{\color{red}2}
−
11
x
(
4
x
−
2
)
=
−
11
x
×
4
x
−
(
−
11
x
)
×
2
−
11
x
(
4
x
−
2
)
=
−
44
x
2
−
(
−
22
x
)
⇒
\;-11x({\color{blue}4x}-{\color{red}2})=-44x^2-(-22x)\;\Rightarrow\;
−
11
x
(
4
x
−
2
)
=
−
44
x
2
−
(
−
22
x
)
⇒
(Ici, on fait attention à la règle des signes, lors des multiplications).
−
11
x
(
4
x
−
2
)
=
−
44
x
2
+
22
x
\;-11x({\color{blue}4x}-{\color{red}2})={\color{black}\boxed{-44x^{2}+22x}}
−
11
x
(
4
x
−
2
)
=
−
44
x
2
+
22
x