Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$F=\left(2x+3\right)\left(x-5\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-7\right)$$ équivaut successivement à :
$$F=\left(2x\times x+2x\times \left(-5\right)+3\times x+3\times \left(-5\right)\right)-\left(2x\times 2x+2x\times \left(-7\right)+3\times 2x+3\times \left(-7\right)\right)$$
$$F=2x^2-10x+3x-15-\left(4x^2-14x+6x-21\right)$$
$$F=2x^2-7x-15-\left(4x^2-8x-21\right)$$
$$F=2x^2-7x-15-4x^2+8x+21$$
$$F=2x^2-4x^2+8x-7x+21-15$$
$$F=2x^2+x+6$$

On considère l’expression $$F=\left(2x+3\right)\left(x-5\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-7\right)$$
$$F={\color{blue}(2x+3)}(x-5)-{\color{blue}(2x+3)}(2x-7)$$
Ici $$F$$ est de la forme $$\color{red}ka-kb$$, avec comme facteur en commun : $$\color{blue}k=2x+3$$,$$\;\;$$$$a=x-5$$ $$\;\;\;$$et$$\;\;\;$$$$b=2x-7$$
Or$$\;\;\;$$ $${\color{red}ka -kb = k(a -b)}$$, alors :
$$F={\color{blue}(2x+3)}\left(x-5-2x+7\right)$$
Ainsi : $$F=\left(2x+3\right)\left(-x+2\right)$$

$$\left(2x+3\right)\left(-x+2\right) = 0$$
$$\left(2x+3\right)\left(-x+2\right) = 0$$ $$\;\;\;$$Si et seulement si : $$\;\;\;\;$$$$2x+3 = 0$$$$\;\;\;\;\;$$ ou :$$\;\;\;\;\;$$ $$-x+2 =0$$
Ainsi on a :
$${2x}+3{\color{blue}{-3}} ={0}{\color{blue}{-3}}$$ $$\;$$ On a soustrait $${\color{blue}3}$$ à chaque membre.
$$2x=-3$$
$$\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{-3}{\color{blue}2}$$ $$\;$$On a divisé par $${\color{blue}2}$$ chaque membre. $${\red{\Longleftrightarrow}}$$ $$\;\;$$ $$\boxed{x=-\frac{3}{2}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\textbf{\red{OU}}$$
$$-x+2{\color{blue}{-2}} =0{\color{blue}{-2}}$$ $$\;$$ On a soustrait $${\color{blue}2}$$ à chaque membre.
$$-x=-2$$
$$\frac{-x}{\color{blue}-1}=\frac{-2}{\color{blue}-1}$$ $$\;$$On a divisé par $${\color{blue}-1}$$ chaque membre. $${\red{\Longleftrightarrow}}$$ $$\;\;$$ $$\boxed{x=2}$$
L'ensemble des solutions est $$S=\left\{-\frac{7}{2}\;;\;2\right\}$$