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Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

18 min
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On considère l’expression D=(12x+3)(2x−7)−(2x−7)2D = (12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2 .
Question 1

Développer et réduire D.D.

Correction
D=(12x+3)(2x−7)−(2x−7)2D = {\color{brown}(12x+3)(2x-7)}-{\color{green}(2x-7)^2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
D=(12x+3)(2x−7)−(2x−7)2D = {\color{brown}(12x+3)(2x-7)}-{\color{green}(2x-7)^2}
D=12x×2x+12x×(−7)+3×2x+3×(−7)−((2x)2−2×2x×7+72)\small{D={\color{brown}12x\times2x+12x\times(-7)+3\times2x+3\times{(-7)}}-{\color{green}\left((2x)^2-2\times2x\times7+7^2\right)}}
D=24x2−84x+6x−21−(4x2−28x+49)D={\color{brown}24x^2-84x+6x-21}-(\color{green}4x^2-28x+49)
D=24x2−78x−21−4x2+28x−49D=24x^2-78x-21-4x^2+28x-49
D=24x2−4x2−78x+28x−21−49D=24x^2-4x^2-78x+28x-21-49
D=20x2−50x−70\color{blue}\boxed{D=20x^2-50x-70}
Question 2

Factoriser D.D.

Correction
  • Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
  • Si l’expression contient un facteur commun, alors on utilise l'une des formules de factorisation : ka+kb=k(a+b)      ou        ka–kb=k(a–b)⇒  \color{red}ka + kb = k(a+b)\;\;\;ou\;\;\;\;ka – kb = k(a – b)\Rightarrow\;Ici k\color{red}k représente le facteur en commun.
On considère l’expression D=(12x+3)(2x−7)−(2x−7)2D = (12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2
D=(12x+3)(2x−7)−(2x−7)(2x−7)D=(12x+3){\color{blue}(2x-7)}-{\color{blue}(2x-7)}(2x-7)
Ici, DD est de la forme ka−kb\color{red}ka-kb, avec comme facteur en commun : k=2x−7\color{blue}k=2x-7,    \;\;a=12x+3a=12x+3       \;\;\;et      \;\;\;b=2x−7b=2x-7
Or      \;\;\; ka−kb=k(a−b){\color{red}ka -kb = k(a -b)}, alors :
D=(2x−7)(12x+3−(2x−7))D=(2x-7)(12x+3-(2x-7))
D=(2x−7)(12x+3−2x+7)D=(2x-7)(12x+3-2x+7)
Donc D=(2x−7)(10x+10){\color{blue}\boxed{D=(2x-7)(10x+10)}}
Question 3

Calculer DD pour x=2x=2

Correction
D=(12x+3)(2x−7)−(2x−7)2D = (12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2 ou bien encore D=(2x−7)(10x+10).{D=(2x-7)(10x+10).}
Ici, il faut penser à utiliser la forme la plus simple, afin d'effectuer notre calcul, soit :
D=(2x−7)(10x+10).{D=(2x-7)(10x+10).} Pour x=2x=2 on a :
D=(2×2−7)×(10×2+10)D=(2\times{2}-7)\times(10\times{2}+10)
D=(4−7)×(20+10)D=(4-7)\times(20+10)
D=(−3)×(30)D=(-3)\times(30)
D=−90\color{blue}\boxed{D=-90}
Question 4

Résoudre l’équation (2x−7)(x+1)=0(2x-7)(x+1) = 0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(2x−7)(x+1)=0(2x-7)(x+1) = 0
(2x−7)(x+1)=0(2x-7)(x+1) = 0       \;\;\;Si et seulement si :         \;\;\;\;2x−7=02x-7 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; x+1=0x+1 =0
Ainsi, on a :
2x−7+7=0+7{2x}-7{\color{blue}{+7}} ={0}{\color{blue}{+7}}   \; On additionne 7{\color{blue}7} à chaque membre.
2x=72x=7
2x2=72\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{7}{\color{blue}2}   \;On a divisé par 2{\color{blue}2} chaque membre.⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=72\boxed{x=\frac{7}{2}}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
x+1−1=0−1x+1{\color{blue}{-1}} =0{\color{blue}{-1}}   \; On a soustrait 1{\color{blue}1} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=−1\boxed{x=-1}
L'ensemble des solutions est S={−1  ;  72}S=\left\{-1\;;\;\frac{7}{2}\right\}

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