Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$D = {\color{brown}(12x+3)(2x-7)}-{\color{green}(2x-7)^2}$$
$$D = {\color{brown}(12x+3)(2x-7)}-{\color{green}(2x-7)^2}$$
$$\small{D={\color{brown}12x\times2x+12x\times(-7)+3\times2x+3\times{(-7)}}-{\color{green}\left((2x)^2-2\times2x\times7+7^2\right)}}$$
$$D={\color{brown}24x^2-84x+6x-21}-(\color{green}4x^2-28x+49)$$
$$D=24x^2-78x-21-4x^2+28x-49$$
$$D=24x^2-4x^2-78x+28x-21-49$$
$$\color{blue}\boxed{D=20x^2-50x-70}$$

On considère l’expression $$D = (12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2$$
$$D=(12x+3){\color{blue}(2x-7)}-{\color{blue}(2x-7)}(2x-7)$$
Ici, $$D$$ est de la forme $$\color{red}ka-kb$$, avec comme facteur en commun : $$\color{blue}k=2x-7$$,$$\;\;$$$$a=12x+3$$ $$\;\;\;$$et$$\;\;\;$$$$b=2x-7$$
Or$$\;\;\;$$ $${\color{red}ka -kb = k(a -b)}$$, alors :
$$D=(2x-7)(12x+3-(2x-7))$$
$$D=(2x-7)(12x+3-2x+7)$$
Donc $${\color{blue}\boxed{D=(2x-7)(10x+10)}}$$

$$D = (12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2$$ ou bien encore $${D=(2x-7)(10x+10).}$$
Ici, il faut penser à utiliser la forme la plus simple, afin d'effectuer notre calcul, soit :
$${D=(2x-7)(10x+10).}$$ Pour $$x=2$$ on a :
$$D=(2\times{2}-7)\times(10\times{2}+10)$$
$$D=(4-7)\times(20+10)$$
$$D=(-3)\times(30)$$
$$\color{blue}\boxed{D=-90}$$

$$(2x-7)(x+1) = 0$$
$$(2x-7)(x+1) = 0$$ $$\;\;\;$$Si et seulement si : $$\;\;\;\;$$$$2x-7 = 0$$$$\;\;\;\;\;$$ ou :$$\;\;\;\;\;$$ $$x+1 =0$$
Ainsi, on a :
$${2x}-7{\color{blue}{+7}} ={0}{\color{blue}{+7}}$$ $$\;$$ On additionne $${\color{blue}7}$$ à chaque membre.
$$2x=7$$
$$\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{7}{\color{blue}2}$$ $$\;$$On a divisé par $${\color{blue}2}$$ chaque membre.$${\red{\Longleftrightarrow}}$$ $$\;\;$$ $$\boxed{x=\frac{7}{2}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\textbf{\red{OU}}$$
$$x+1{\color{blue}{-1}} =0{\color{blue}{-1}}$$ $$\;$$ On a soustrait $${\color{blue}1}$$ à chaque membre. $${\red{\Longleftrightarrow}}$$ $$\;\;$$ $$\boxed{x=-1}$$
L'ensemble des solutions est $$S=\left\{-1\;;\;\frac{7}{2}\right\}$$