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Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

12 min
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On considère l’expression E=(x−2)(2x+3)−3(x−2)E = (x −2)(2x +3)−3(x −2) .
Question 1

Développer E.E.

Correction
E=(x−2)(2x+3)−3(x−2).E ={\color{brown} (x −2)(2x +3)}\color{green}−3(x −2).
E=x×2x+x×3−2×2x−2×3−3×x−3×(−2)E={\color{brown}x\times{2x}+x\times{3}-2\times{2x}-2\times3}\color{green}-3\times{x}-3\times{(-2)}
E=2x2+3x−4x−6−3x+6E={\color{brown}2x^2+3x-4x-6}\color{green}-3x+6
E=2x2+3x−4x−3x−6+6E=2x^2+3x-4x-3x-6+6
E=2x2−4x\color{blue}\boxed{E=2x^2-4x}
Question 2

Factoriser EE et vérifier que E=2FE = 2F, où F=x(x−2).F = x(x −2).

Correction
  • Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
  • Si l’expression contient un facteur commun, alors on utilise l'une des formules de factorisation : ka+kb=k(a+b)      ou        ka–kb=k(a–b)⇒  \color{red}ka + kb = k(a+b)\;\;\;ou\;\;\;\;ka – kb = k(a – b)\Rightarrow\;Ici k\color{red}k représente le facteur en commun.

On considère l’expression E=(x−2)(2x+3)−3(x−2).E = (x −2)(2x +3)−3(x −2).
E=(x−2)(2x+3)−3(x−2)E={\color{blue}(x-2)}(2x+3)-3{\color{blue}(x-2)}
Ici, EE est de la forme ka−kb\color{red}ka-kb, avec comme facteur en commun : k=x−2\color{blue}k=x-2,    \;\;a=2x+3a=2x+3       \;\;\;et      \;\;\;b=−3b=-3
Or      \;\;\; ka−kb=k(a−b){\color{red}ka -kb = k(a -b)}, alors :
E=(x−2)(2x+3−3)E=(x-2)(2x+3-3)
E=(x−2)(2x)E=(x-2)(2x)
E=2x(x−2)E={2x}\left(x-2\right)

E=2×x(x−2)E=2\times{\color{blue}x(x-2)} ,       \;\;\;Or F=x(x−2)F=x(x-2)
Donc E=2F.{\color{blue}\boxed{E=2F.}}
Question 3

Déterminer tous les nombres xx tels que (x−2)(2x+3)−3(x−2)=0.(x −2)(2x +3)−3(x −2) = 0.

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(2x)(x−2)=0{\left(2x\right)\left(x-2\right)=0}       \;\;\;Si et seulement si :         \;\;\;\;2x=02x = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; x−2=0x-2 =0
Ainsi, on a :
2x2=02\frac{2x}{\color{blue}{2}} =\frac{0}{\color{blue}{2}}   \; On a divisé par 2{\color{blue}2} chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=0\boxed{x=0}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
x−2+2=0+2x-2{\color{blue}{+2}} =0{\color{blue}{+2}}   \; On a additionné 2{\color{blue}2} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=2\boxed{x=2}
L'ensemble des solutions est S={0;2}S=\left\{0;2\right\}

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