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Développement et factorisation
Développer à l'aide des identités remarquables - Exercice 4
9 min
20
COMPETENCES :
Calculer et reconnaitre les trois identités remarquables.
Question 1
Développer et réduire les expressions suivantes :
A
=
(
7
x
+
7
)
2
A=\left(7x+7\right)^2
A
=
(
7
x
+
7
)
2
Correction
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
(
7
x
+
7
)
2
(7x+7)^2
(
7
x
+
7
)
2
est bien de la forme
(
a
+
b
)
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}
(
a
+
b
)
2
, avec
a
=
7
x
a={\color{blue}7x}
a
=
7
x
et
b
=
7
b={\color{red}7}
b
=
7
.
A
=
(
7
x
+
7
)
2
A=\left({\color{blue}7x}+{\color{red}7}\right)^{2}
A
=
(
7
x
+
7
)
2
équivaut successivement à :
A
=
(
7
x
)
2
+
2
×
7
x
×
7
+
7
2
A={\color{blue}(7x)}^{2} +2\times {\color{blue}7x}\times {\color{red}7}+{\color{red}7}^{2}
A
=
(
7
x
)
2
+
2
×
7
x
×
7
+
7
2
\;\;\;
Ici, on pense bien à mettre
7
x
7x
7
x
entre parenthèses. En effet :
(
7
x
)
2
≠
7
x
2
(7x)^2\neq 7x^2
(
7
x
)
2
=
7
x
2
A
=
49
x
2
+
98
x
+
49
A=49x^{2} +98x+49
A
=
49
x
2
+
98
x
+
49
Question 2
B
=
(
3
x
−
7
)
(
3
x
+
7
)
B=\left(3x-7\right)\left(3x+7\right)
B
=
(
3
x
−
7
)
(
3
x
+
7
)
Correction
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
(
3
x
−
7
)
(
3
x
+
7
)
\left(3x-7\right)\left(3x+7\right)
(
3
x
−
7
)
(
3
x
+
7
)
est bien de la forme
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
, avec
a
=
3
x
a={\color{blue}3x}
a
=
3
x
et
b
=
7
b={\color{red}7}
b
=
7
.
B
=
(
3
x
−
7
)
(
3
x
+
7
)
B=\left({\color{blue}3x}-{\color{red}7}\right)\left({\color{blue}3x}+{\color{red}7}\right)
B
=
(
3
x
−
7
)
(
3
x
+
7
)
B
=
(
3
x
)
2
−
(
7
)
2
B=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -\left({\color{red}7}\right)^{2}
B
=
(
3
x
)
2
−
(
7
)
2
\;\;\;
Ici, on pense bien à mettre
3
x
3x
3
x
entre parenthèses. En effet :
(
3
x
)
2
≠
3
x
2
(3x)^2\neq 3x^2
(
3
x
)
2
=
3
x
2
B
=
9
x
2
−
49
B=9x^{2} -49
B
=
9
x
2
−
49
Question 3
D
=
(
11
x
+
5
)
2
D=\left(11x+5\right)^{2}
D
=
(
11
x
+
5
)
2
Correction
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
(
11
x
+
5
)
2
(11x+5)^2
(
11
x
+
5
)
2
est bien de la forme
(
a
+
b
)
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}
(
a
+
b
)
2
, avec
a
=
11
x
a={\color{blue}11x}
a
=
11
x
et
b
=
5
b={\color{red}5}
b
=
5
.
D
=
(
11
x
+
5
)
2
D=\left({\color{blue}11x}+{\color{red}5}\right)^{2}
D
=
(
11
x
+
5
)
2
équivaut successivement à :
D
=
(
11
x
)
2
+
2
×
11
x
×
5
+
5
2
D=\left({\color{blue}11x}\right)^{2} +2\times {\color{blue}11x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2}
D
=
(
11
x
)
2
+
2
×
11
x
×
5
+
5
2
\;\;\;
Ici, on pense bien à mettre
11
x
11x
11
x
entre parenthèses. En effet :
(
11
x
)
2
≠
11
x
2
(11x)^2\neq 11x^2
(
11
x
)
2
=
11
x
2
D
=
121
x
2
+
110
x
+
25
D=121x^{2} +110x+25
D
=
121
x
2
+
110
x
+
25
Question 4
J
=
(
15
x
−
8
)
2
J=\left(15x-8\right)^{2}
J
=
(
15
x
−
8
)
2
Correction
(
15
x
−
8
)
2
\left(15x-8\right)^{2}
(
15
x
−
8
)
2
est bien de la forme
(
a
−
b
)
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
(
a
−
b
)
2
, avec
a
=
15
x
a={\color{blue}15x}
a
=
15
x
et
b
=
8
b={\color{red}8}
b
=
8
.
J
=
(
15
x
−
8
)
2
J=\left({\color{blue}15x}-{\color{red}8}\right)^{2}
J
=
(
15
x
−
8
)
2
équivaut successivement à :
J
=
(
15
x
)
2
−
2
×
15
x
×
8
+
8
2
J=\left({\color{blue}15x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}15x}\times {\color{red}8}+{\color{red}8}^{2}
J
=
(
15
x
)
2
−
2
×
15
x
×
8
+
8
2
\;\;\;
Ici, on pense bien à mettre
15
x
15x
15
x
entre parenthèses. En effet :
(
15
x
)
2
≠
15
x
2
(15x)^2\neq 15x^2
(
15
x
)
2
=
15
x
2
J
=
225
x
2
−
240
x
+
64
J=225x^{2} -240x+64
J
=
225
x
2
−
240
x
+
64