Fonctions polynômes de degré 2

Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 3

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4(x5)(x7)f\left(x\right)=-4\left(x-5\right)\left(x-7\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
4(x5)(x7)=0-4\left(x-5\right)\left(x-7\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x5=0x-5=0 ou\text{\red{ou}} x7=0x-7=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x5=0x-5=0
x=5x=5
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x7=0x-7=0
x=7x=7
Les points cherchés ont pour coordonnées (5;0)\left(5;0\right) et (7;0)\left(7;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=4(x5)(x7)f\left(x\right)=-4\left(x-5\right)\left(x-7\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=5x_1=5 et x2=7x_2=7 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=5+72x=\frac{5+7}{2}
x=122x=\frac{12}{2}
x=6x=6
Question 3

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.

Correction
Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 66 et son ordonnée vaut f(6)=4×(65)×(67)f\left(6\right)=-4\times\left(6-5\right)\times\left(6-7\right)
f(6)=4×1×(1)f\left(6\right)=-4\times1\times\left(-1\right)
f(6)=4f\left(6\right)=4

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (6;4)\left(6;4\right)