Probabilités conditionnelles

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

25 min
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Une section de seconde comporte 120120 élèves. On donne les informations suivantes :
On note :
  • HH l'événement : « être un garçon »
  • LL l'événement : « faire une LV2 »
Question 1

Compléter le tableau.

Correction
Question 2

Quelle est la probabilité d'être un homme.

Correction
p(H)=nombre des issues favorables pour Hnombre des issues possiblesp\left(H\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }H}{\text{nombre des issues possibles}}
p(H)=84120p\left(H\right)=\frac{84}{120}
p(H)=710p\left(H\right)=\frac{7}{10}
Question 3

Quelle est la probabilité de faire une LV2.

Correction
p(L)=nombre des issues favorables pour Lnombre des issues possiblesp\left(L\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }L}{\text{nombre des issues possibles}}
p(L)=70120p\left(L\right)=\frac{70}{120}
p(L)=712p\left(L\right)=\frac{7}{12}
Question 4

D'écrire l'évènement H∩LH\cap L par une phrase, puis donner p(H∩L)p\left(H\cap L\right).

Correction
H∩LH\cap L l'événement : « être un garçon et faire une LV2.
p(H∩L)=nombre des issues favorables H∩Lnombre des issues possiblesp\left(H\cap L\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } H\cap L}{\text{nombre des issues possibles}}
p(H∩L)=58120p\left(H\cap L\right)=\frac{58}{120}
p(H∩L)=2960p\left(H\cap L\right)=\frac{29}{60}

Question 5

D'écrire l'évènement H∪LH\cup L par une phrase, puis donner p(H∪L)p\left(H\cup L\right).

Correction
H∪LH\cup L l'événement : « être un garçon ou faire une LV2.
  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
P(H∪L)=P(H)+P(L)−P(H∩L)P\left(H\cup L\right)=P\left(H\right)+P\left(L\right)-P\left(H\cap L\right) équivaut successivement à :
P(H∪L)=84120+70120−58120P\left(H\cup L\right)=\frac{84}{120}+\frac{70}{120}-\frac{58}{120}
P(H∪L)=96120P\left(H\cup L\right)=\frac{96}{120}
P(H∪L)=45P\left(H\cup L\right)=\frac{4}{5}
Question 6

Sachant que la personne fait de la LV2, quelle est la probabilité que ce soit une fille?

Correction
Nous savons que
  • HH l'événement : « être un garçon »
    • Nous noterons alors :
  • H‾\overline{H} l'événement : « être une fille »
    • Sachant que la personne fait de la LV2, quelle est la probabilité que ce soit une fille correspond à une probabilité conditionnelle que l'on va écrire : PL(H‾)P_{L} \left(\overline{H}\right)
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PL(H‾)=P(H‾∩L)P(L)P_{L} \left(\overline{H}\right)=\frac{P\left(\overline{H}\cap L\right)}{P\left(L\right)}
    PL(H‾)=1270P_{L} \left(\overline{H}\right)=\frac{12}{70}
    d'où :
    PL(H‾)=635P_{L} \left(\overline{H}\right)=\frac{6}{35}