Savoir écrire sous forme développée l'expression $S=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$

Dans cette question, la variable $k$ variera de $0$ à $2$. Elle prendra toutes les valeurs entières de $0$ inclus à $2$ inclus.
$S=\sum _{k=0}^{2}k$ équivaut successivement à :
$S=0+1+2$

Dans cette question, la variable $i$ variera de $1$ à $5$. Elle prendra toutes les valeurs entières de $1$ inclus à $5$ inclus.
$S=\sum _{i=1}^{5}i$ équivaut successivement à :
$S=1+2+3+4+5$

Dans cette question, la variable $k$ variera de $1$ à $3$. Elle prendra toutes les valeurs entières de $3$ inclus à $6$ inclus.
$S=\sum _{k=3}^{6}2k$ équivaut successivement à :
$S=2\times \red{3}+2\times \red{4}+2\times \red{5}+2\times \red{6}$
$S=6+8+10+12$
Ainsi :

Dans cette question, la variable $k$ variera de $1$ à $5$. Elle prendra toutes les valeurs entières de $1$ inclus à $5$ inclus.
$S=\sum _{k=1}^{5}\left(k+1\right)$
$S=\left(\red{1}+1\right)+\left(\red{2}+1\right)+\left(\red{3}+1\right)+\left(\red{4}+1\right)+\left(\red{5}+1\right)$
$S=2+3+4+5+6$

Dans cette question, la variable $k$ variera de $1$ à $3$. Elle prendra toutes les valeurs entières de $1$ inclus à $3$ inclus.
$S=\sum _{k=0}^{3}u_k$ équivaut successivement à :

$S=1^{2} +2^{2} +3^{2} +4^{2} +5^{2}$ équivaut successivement à :

$S=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4}$ équivaut successivement à :
$S=\frac{1}{1} +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4}$

$S=4^{3} +5^{3} +6^{3} +7^{3} +8^{3}+9^{3}$ équivaut successivement à :

$S=\sum _{k=1}^{12}k=1+2+3+\ldots+12$
On sait que $\left(u_{n} \right)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $1$
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est $\color{red}12.$
De plus, il y a en tout $12$ termes en partant de $1$ à $12$.
On applique la formule :
$S=\sum _{k=1}^{12}k$
$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$
$S=12\times \left(\frac{1+12}{2} \right)$
$S=12\times {\frac{13}{2}}$
Ainsi :

$S=\sum _{i=0}^{6}i=0+1+2+3+\ldots+6$
On sait que $\left(u_{n} \right)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $0$
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est $\color{red}6.$
De plus, il y a en tout $7$ termes en partant de $0$ à $6$.
On applique la formule :
$S=\sum _{i=0}^{6}i$
$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$
$S=7\times \left(\frac{0+6}{2} \right)$
$S=7\times {\frac{6}{2}}$
$S=7\times 3$
Ainsi :

$S=\sum _{i=0}^{9}i=0+1+2+3+\ldots+9$
On sait que $\left(u_{n} \right)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $0$
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est $\color{red}9.$
De plus, il y a en tout $10$ termes en partant de $0$ à $9$.
On applique la formule :
$S=\sum _{i=0}^{9}i$
$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$
$S=10\times \left(\frac{0+9}{2} \right)$
$S=10\times {\frac{9}{2}}$
Ainsi :