Suites

Exercices types : 1ère partie

Exercice 1

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 12401240 renards à la fin de l’année 20162016. On modélise par unu_{n} le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l’année 2016+n2016+n. On a donc u0=1240u_{0}=1240. On estime à 1515% par an la baisse du nombre unu_{n}. On suppose que cette évolution restera identique pour les années avenir. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.
Partie A
1

Montrer qu’à la fin de l’année 20172017 , la population de renards sera de 10541054.

Correction
2

En déduire la nature de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
3

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
4

Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l’année 20202020.

Correction
Partie B
Afin de préserver l’espèce, on décide d’introduire à chaque année 3030 renards à partir de la fin de l’année 20172017. On note vnv_{n} le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l’année 2016+n2016+n. On estime à 1515% par an la baisse du nombre vnv_{n}. On a v0=1240v_{0}=1240.
5

Calculer v1v_{1}

Correction
On admet que pour tout entier naturel nn, on a : vn=200+1040×(0,85)nv_{n} =200+1040\times \left(0,85\right)^{n}
6

Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l’année 20202020. Donner un arrondi à l'entier.

Correction

Exercice 2

Un responsable étudie l’évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de 7%7\% par jour, notamment par évaporation. La concentration observée le 1010 juin 20202020 est de 6868 microgrammes par litre.
Pour tout entier naturel nn, on note unu_{n} la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin nn jours après le 1010 juin 20202020.
1

Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Correction
2

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
3

Déterminer une expression de unu_{n} en fonction de nn.

Correction
4

Déterminer la concentration de benzène le 1515 juin 20202020 .

Correction
On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes.
5

Quel est celui qui permettrait de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l’eau soit devenue excellente? L'eau devient excellente si la concentration est strictement inférieur à 0,50,5.

Correction
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