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Fonction inverse

Etudier le signe d'un quotient de la forme a(x−x1)(x−x2)x2\frac{a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)}{x^{2} } - Exercice 1

20 min
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Dresser le tableau de signe des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=2(x+4)(x−5)x2f\left(x\right)=\frac{2\left(x+4\right)\left(x-5\right)}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R^{*}} .

Correction
Pour étudier le signe d'un quotient :
  • on identifie la valeur interdite .
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
    • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R∗\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur 2(x+4)(x−5)2\left(x+4\right)\left(x-5\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+4=0⇔x=−4x+4=0\Leftrightarrow x=-4
    Soit x↦x+4x\mapsto x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+4x+4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−4x=-4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−5=0⇔x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit x↦x−5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−5x-5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−7(x−1)(x+1)x2f\left(x\right)=\frac{-7\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R^{*}} .

    Correction
    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • on identifie la valeur interdite .
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
    • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R∗\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur −7(x−1)(x+1)-7\left(x-1\right)\left(x+1\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x+1=0⇔x=−1x+1=0\Leftrightarrow x=-1
    Soit x↦x+1x\mapsto x+1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+1x+1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−1x=-1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −7-7 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −7-7.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    f(x)=8(x−5)(x+5)x2f\left(x\right)=\frac{8\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R^{*}} .

    Correction
    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • on identifie la valeur interdite .
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
    • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R∗\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur 8(x−5)(x+5)8\left(x-5\right)\left(x+5\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−5=0⇔x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit x↦x−5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−5x-5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x+5=0⇔x=−5x+5=0\Leftrightarrow x=-5
    Soit x↦x+5x\mapsto x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+5x+5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−5x=-5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 88 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 88.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 4

    f(x)=−3(x+7)(x−7)x2f\left(x\right)=\frac{-3\left(x+7\right)\left(x-7\right)}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R^{*}} .

    Correction
    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • on identifie la valeur interdite .
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
    • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R∗\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur −3(x+7)(x−7)-3\left(x+7\right)\left(x-7\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+7=0⇔x=−7x+7=0\Leftrightarrow x=-7
    Soit x↦x+7x\mapsto x+7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+7x+7 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−7x=-7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−7=0⇔x=7x-7=0\Leftrightarrow x=7
    Soit x↦x−7x\mapsto x-7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−7x-7 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −3-3 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −3-3.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :