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Calculer les limites en 00 - Exercice 1

8 min
20
Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→0x>0−4x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{-4}{x}

Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x>0−4x=lim⁡x→0x>0−4×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{-4}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} -4\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x}=+\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par −4-4 qui est une valeur neˊgative\red{\text{négative}}.
    Nous allons donc changer le signe du reˊsultat\blue{\text{Nous allons donc changer le signe du résultat}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x>0−4×1x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} -4\times\frac{1}{x}=-\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x>0−4x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{-4}{x}=-\infty
    Question 2

    lim⁡x→0x>02x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{2}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x>02x=lim⁡x→0x>02×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{2}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} 2\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x}=+\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par 22 qui est une valeur positive\red{\text{positive}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x>02×1x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} 2\times\frac{1}{x}=+\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x>02x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{2}{x}=+\infty
    Question 3

    lim⁡x→0x<06x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{6}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x<06x=lim⁡x→0x<06×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{6}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} 6\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x}=-\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par 66 qui est une valeur positive\red{\text{positive}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x<06×1x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} 6\times\frac{1}{x}=-\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x<06x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{6}{x}=-\infty
    Question 4

    lim⁡x→0x<0−7x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{-7}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x<0−7x=lim⁡x→0x<0−7×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{-7}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} -7\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x}=-\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par −7-7 qui est une valeur neˊgative\red{\text{négative}}.
    Nous allons donc changer le signe du reˊsultat\blue{\text{Nous allons donc changer le signe du résultat}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x<0−7×1x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} -7\times\frac{1}{x}=+\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x<0−7x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{-7}{x}=+\infty
    Question 5

    lim⁡x→0x>0−9x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{-9}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x>0−9x=lim⁡x→0x>0−9×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{-9}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} -9\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x}=+\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par −9-9 qui est une valeur neˊgative\red{\text{négative}}.
    Nous allons donc changer le signe du reˊsultat\blue{\text{Nous allons donc changer le signe du résultat}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x>0−9×1x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} -9\times\frac{1}{x}=-\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x>0−9x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{-9}{x}=-\infty
    Question 6

    lim⁡x→0x>02x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{2}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x>02x=lim⁡x→0x>02×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{2}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} 2\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x}=+\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par 22 qui est une valeur positive\red{\text{positive}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x>02×1x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} 2\times\frac{1}{x}=+\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x>02x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{2}{x}=+\infty
    Question 7

    lim⁡x→0x<0−11x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{-11}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x<0−11x=lim⁡x→0x<0−11×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{-11}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} -11\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x}=-\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par −11-11 qui est une valeur neˊgative\red{\text{négative}}.
    Nous allons donc changer le signe du reˊsultat\blue{\text{Nous allons donc changer le signe du résultat}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x<0−11×1x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} -11\times\frac{1}{x}=+\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x<0−11x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{-11}{x}=+\infty
    Question 8

    lim⁡x→0x<09x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{9}{x}

    Correction
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x>0} \end{array}} \frac{1}{x} =+\infty
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x} =-\infty
    • lim⁡x→0x<09x=lim⁡x→0x<09×1x\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{9}{x}=\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} 9\times\frac{1}{x}
    Or lim⁡x→0x<01x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{1}{x}=-\infty nous allons maintenant multiplier\red{\text{multiplier}} la limite par 99 qui est une valeur positive\red{\text{positive}}.
    Cela nous donne donc :lim⁡x→0x<09×1x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} 9\times\frac{1}{x}=-\infty
    Finalement :
    lim⁡x→0x<09x=−∞\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}} \frac{9}{x}=-\infty

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