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À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés - Exercice 3

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On considère la série statistique à deux variables données par le tableau suivant :
Question 1

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi;yi)\left(x_i;y_i\right) associées à cette série statistique.

Correction
On place successivement les points de coordonnées (1;4)\left(1;4\right), (2;17)\left(2;17\right), (3;24)\left(3;24\right), (4;36)\left(4;36\right) et (5;43)\left(5;43\right)
Question 2

Un ajustement affine semble t-il adapté?

Correction
Les points du nuages sont proches de l'alignement, on peut donc envisager un ajustement affine.
Question 3

Calculer les coordonnées du point moyen GG. Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point GG.

Correction
Le point moyen G(x‾;y‾)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses xix_{i}, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées yiy_{i}.
Ses coordonnées (x‾;y‾)\left(\overline{x};\overline{y}\right) vérifient donc : x‾=x1+x2+…+xnn\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n} et y‾=y1+y2+…+ynn\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}.
Les coordonnées du point moyen GG de cette série statistique sont :
x‾=1+2+3+4+55\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}
x‾=3\overline{x}=3

y‾=4+17+24+36+435\overline{y}=\frac{4+17+24+36+43}{5}
y‾=24,8\overline{y}=24,8

Les coordonnées du point moyen GG sont : G(3;24,8)G\left(3;24,8\right)
Nous allons donc maintenant placer le point moyen GG dans le repère :
Question 4

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Correction
Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
y=9,7x−4,3y=9,7x-4,3
Question 5

Tracer la droite (d)\left(d\right) dans le même repère que le nuage de points.

Correction
  • La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen du nuage de points de la série statistique.
    • La droite (d)\left(d\right) doit  passer par le point moyen G\red{\text{ passer par le point moyen G}}. Il nous faut donc un deuxième point que nous choisissons de manière arbitraire.
    Par exemple pour x=2x=2, nous avons y=9,7×2−4,3=15,1y=9,7\times 2-4,3=15,1 . Notons A(2;15,1)A\left(2;15,1\right) ce deuxième point.
    La droite (d)\left(d\right) passe par G(3;24,8)G\left(3;24,8\right) et par le point A(2;15,1)A\left(2;15,1\right).
    Nous traçons maintenant la droite (d)\left(d\right) dans le repère.

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