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À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés - Exercice 1

15 min
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On considère la série statistique à deux variables données par le tableau suivant :
Question 1

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi;yi)\left(x_i;y_i\right) associées à cette série statistique.

Correction
On place successivement les points de coordonnées (1;2,1)\left(1;2,1\right), (2;5)\left(2;5\right), (3;7,9)\left(3;7,9\right), (4;11)\left(4;11\right) et (5;14,1)\left(5;14,1\right)
Question 2

Calculer les coordonnées du point moyen GG. Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point GG.

Correction
Le point moyen G(x‾;y‾)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses xix_{i}, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées yiy_{i}.
Ses coordonnées (x‾;y‾)\left(\overline{x};\overline{y}\right) vérifient donc : x‾=x1+x2+…+xnn\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n} et y‾=y1+y2+…+ynn\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}.
Les coordonnées du point moyen GG de cette série statistique sont :
x‾=1+2+3+4+55\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}
x‾=3\overline{x}=3

y‾=2,1+5+7,9+11+14,15\overline{y}=\frac{2,1+5+7,9+11+14,1}{5}
y‾≈8,02\overline{y}\approx 8,02

Les coordonnées du point moyen GG sont : G(3;8,02)G\left(3;8,02\right)
Nous allons donc maintenant placer le point moyen GG dans le repère :

Question 3

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l'unité.

Correction
Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
y=3x−1y=3x-1
(coefficients arrondis à l'unité)
Question 4

Tracer la droite (d)\left(d\right) dans le même repère que le nuage de points.

Correction
  • La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen du nuage de points de la série statistique.
    • La droite (d)\left(d\right) doit  passer par le point moyen G\red{\text{ passer par le point moyen G}}. Il nous faut donc un deuxième point que nous choisissons de manière arbitraire.
    Par exemple pour x=1x=1, nous avons y=3×1−1=2y=3\times 1-1=2 . Notons A(1;2)A\left(1;2\right) ce deuxième point.
    La droite (d)\left(d\right) passe par G(3;8,02)G\left(3;8,02\right) et par le point A(1;2)A\left(1;2\right).
    Nous traçons maintenant la droite (d)\left(d\right) dans le repère.

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