Fonction inverse

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R^{*}} par : f(x)=x7+25xf\left(x\right)=x-7+\frac{25}{x}

Déterminer f(x)f'\left(x\right)

Correction
  • (nombrex)=nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
  • Nous avons f(x)=x7+25xf\left(x\right)=x-7+\frac{\red{25}}{x} alors :
    f(x)=125x2f'\left(x\right)=1-\frac{\red{25}}{x^{2} }
    Question 2

    Montrer que pour tout réel xx non nul, on a : f(x)=(x5)(x+5)x2f'\left(x\right)=\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x^{2} }

    Correction
    Nous savons que : f(x)=125x2f'\left(x\right)=1-\frac{25}{x^{2} } . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
    f(x)=1125x2f'\left(x\right)=\frac{1}{1} -\frac{25}{x^{2} }
    f(x)=1×x2x225x2f'\left(x\right)=\frac{1\times x^{2} }{x^{2} } -\frac{25}{x^{2} }
    f(x)=x225x2f'\left(x\right)=\frac{x^{2} -25}{x^{2} }
    f(x)=x252x2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}x}^{2} -{\color{red}5}^{2} }{x^{2} } . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
    • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
    Ainsi :
    f(x)=(x5)(x+5)x2f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}x}-{\color{red}5}\right)\left({\color{blue}x}+{\color{red}5}\right)}{x^{2} }

    Question 3

    Déterminer le signe de f(x)f'\left(x\right) .

    Correction
    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • on identifie la valeur interdite .
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaître sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
  • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur (x5)(x+5)\left(x-5\right)\left(x+5\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
  • x5=0x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit xx5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x5x-5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
  • x+5=0x=5x+5=0\Leftrightarrow x=-5
    Soit xx+5x\mapsto x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+5x+5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=-5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe de f(x)f'\left(x\right) est alors :
    Question 4

    En déduire les variations de ff.

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • f(5)=57+25(5)f\left(-5\right)=-5-7+\frac{25}{\left(-5\right)} donc f(5)=17f\left(-5\right)=-17
  • f(5)=57+255f\left(5\right)=5-7+\frac{25}{5} donc f(5)=3f\left(5\right)=3