Etudier le signe d'un quotient de la forme $$\frac{a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)}{x^{2} }$$ - Exercice 1

$$\red{\text{Premièrement}}$$

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ . Le signe de $$x^{2}$$ est alors strictement positif. Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ ne dépend alors que de son numérateur $$2\left(x+4\right)\left(x-5\right)$$ . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$x+4=0\Leftrightarrow x=-4$$
Soit $$x\mapsto x+4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Troisièmement :}}$$

$$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$
Soit $$x\mapsto x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$2$$ est strictement positif. On mettra que le signe $$\left(+\right)$$ dans la ligne de $$2$$.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

$$\red{\text{Premièrement}}$$

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ . Le signe de $$x^{2}$$ est alors strictement positif. Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ ne dépend alors que de son numérateur $$-7\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$ . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$x-1=0\Leftrightarrow x=1$$
Soit $$x\mapsto x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Troisièmement :}}$$

$$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$$
Soit $$x\mapsto x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$-7$$ est strictement négatif. On mettra que le signe $$\left(-\right)$$ dans la ligne de $$-7$$.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

$$\red{\text{Premièrement}}$$

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ . Le signe de $$x^{2}$$ est alors strictement positif. Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ ne dépend alors que de son numérateur $$8\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$ . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$
Soit $$x\mapsto x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Troisièmement :}}$$

$$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$$
Soit $$x\mapsto x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$8$$ est strictement positif. On mettra que le signe $$\left(+\right)$$ dans la ligne de $$8$$.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

$$\red{\text{Premièrement}}$$

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ . Le signe de $$x^{2}$$ est alors strictement positif. Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ ne dépend alors que de son numérateur $$-3\left(x+7\right)\left(x-7\right)$$ . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$x+7=0\Leftrightarrow x=-7$$
Soit $$x\mapsto x+7$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+7$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-7$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Troisièmement :}}$$

$$x-7=0\Leftrightarrow x=7$$
Soit $$x\mapsto x-7$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-7$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=7$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$-3$$ est strictement négatif. On mettra que le signe $$\left(-\right)$$ dans la ligne de $$-3$$.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :