Fonction inverse

Etudier le signe d'un produit de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) - Exercice 2

15 min
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Question 1
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :

f(x)=9(x1)(x+1)f\left(x\right)=-9\left(x-1\right)\left(x+1\right) sur R\mathbb{R} .

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x1=0x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit xx1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x1x-1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x+1=0x=1x+1=0\Leftrightarrow x=-1
    Soit xx+1x\mapsto x+1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+1x+1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=-1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 9-9 est strictement négatif. On mettra que le signe ()\left(-\right) dans la ligne de 9-9.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=7(x+4)(x+5)f\left(x\right)=7\left(x+4\right)\left(x+5\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+4=0x=4x+4=0\Leftrightarrow x=-4
    Soit xx+4x\mapsto x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+4x+4 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=-4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x+5=0x=5x+5=0\Leftrightarrow x=-5
    Soit xx+5x\mapsto x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+5x+5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=-5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 77 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 77.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    f(x)=0,8(x+0,25)(x0,75)f\left(x\right)=0,8\left(x+0,25\right)\left(x-0,75\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+0,25=0x=0,25x+0,25=0\Leftrightarrow x=-0,25
    Soit xx+0,25x\mapsto x+0,25 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+0,25x+0,25 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=0,25x=-0,25 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x0,75=0x=0,75x-0,75=0\Leftrightarrow x=0,75
    Soit xx0,75x\mapsto x-0,75 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x0,75x-0,75 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=0,75x=0,75 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 0,80,8 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 0,80,8.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 4

    f(x)=2(x+3)(x3)f\left(x\right)=2\left(x+3\right)\left(x-3\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+3=0x=3x+3=0\Leftrightarrow x=-3
    Soit xx+3x\mapsto x+3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+3x+3 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=-3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x3=0x=3x-3=0\Leftrightarrow x=3
    Soit xx3x\mapsto x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x3x-3 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :