Tableaux de signes - Automatismes - STI2D

Question 1

Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :

$f\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(3x-9\right)$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaître sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

f\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(3x-9\right)

\red{\text{D'une part :}}

x-6=0\Leftrightarrow x=6

Soit

x\mapsto x-6

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-6$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

3x-9=0\Leftrightarrow 3x=9\Leftrightarrow x=\frac{9}{3}=3

Soit

x\mapsto 3x-9

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=3>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-9$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=3$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 2

$f\left(x\right)=\left(-3x-18\right)\left(2x-2\right)$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

f\left(x\right)=\left(-3x-18\right)\left(2x-2\right)

\red{\text{D'une part :}}

-3x-18=0\Leftrightarrow -3x=18\Leftrightarrow x=\frac{18}{-3}=-6

Soit

x\mapsto -3x-18

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-3<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-3x-18$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-6$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

2x-2=0\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{2}=1

Soit

x\mapsto 2x-2

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=2>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $2x-2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=1$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 3

$f\left(x\right)=\left(-3x+15\right)\left(5x+6\right)$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

f\left(x\right)=\left(-3x+15\right)\left(5x+6\right)

\red{\text{D'une part :}}

-3x+15=0\Leftrightarrow -3x=-15\Leftrightarrow x=\frac{-15}{-3}=5

Soit

x\mapsto -3x+15

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-3<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-3x+15$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=5$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

5x+6=0\Leftrightarrow 5x=-6\Leftrightarrow x=\frac{-6}{5}=-\frac{6}{5}

Soit

x\mapsto 5x+6

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=5>0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $5x+6$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-\frac{6}{5}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 4

$f\left(x\right)=\left(4x-13\right)\left(6x+18\right)$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

f\left(x\right)=\left(4x-13\right)\left(6x+18\right)

\red{\text{D'une part :}}

4x-13=0\Leftrightarrow 4x=13\Leftrightarrow x=\frac{13}{4}

Soit

x\mapsto 4x-13

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=4>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $4x-13$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=\frac{13}{4}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

6x+18=0\Leftrightarrow 6x=-18\Leftrightarrow x=\frac{-18}{6}=-3

Soit

x\mapsto 6x+18

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=6>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $6x+18$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-3$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Tableaux de signes - Exercice 2

f(x)=(x−6)(3x−9)f\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(3x-9\right)f(x)=(x−6)(3x−9)

f(x)=(−3x−18)(2x−2)f\left(x\right)=\left(-3x-18\right)\left(2x-2\right)f(x)=(−3x−18)(2x−2)

f(x)=(−3x+15)(5x+6)f\left(x\right)=\left(-3x+15\right)\left(5x+6\right)f(x)=(−3x+15)(5x+6)

f(x)=(4x−13)(6x+18)f\left(x\right)=\left(4x-13\right)\left(6x+18\right)f(x)=(4x−13)(6x+18)

$f\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(3x-9\right)$

$f\left(x\right)=\left(-3x-18\right)\left(2x-2\right)$

$f\left(x\right)=\left(-3x+15\right)\left(5x+6\right)$

$f\left(x\right)=\left(4x-13\right)\left(6x+18\right)$