Transformer l'expression $${\color{red}{a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)}}$$ en $${\color{blue}{A\cos \left(\omega t+\varphi \right)}}$$ - Exercice 2

La fonction $$f\left(t\right)= \cos \left(2t\right)+\sin \left(2t\right)$$ est bien de la forme $$a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)$$ . On identifie $$a=1$$ ; $$b=1$$ et $$\omega =2$$
Pour pourvoir exprimer $$f\left(t\right)$$ sous la forme $$A\cos \left(2t+\varphi \right)$$. Il va falloir suivre les deux étapes suivantes.

$$\blue{\text{Première étape :}}$$ Calculons la valeur de $$A$$

La valeur de $$A$$ est égale à
$$A=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$$
$$A=\sqrt{1^{2} +1^{2} }$$
Ainsi :

$$\blue{\text{Deuxième étape :}}$$ Nous allons factoriser $$f\left(t\right)$$ par la valeur $$A=\sqrt{2}$$

Soit $$f\left(t\right)= \cos \left(2t\right)+\sin \left(2t\right)$$ . Factorisons cette expression par $$A=\sqrt{2}$$. Cela nous donne :
$$f\left(t\right)=\sqrt{2}\left(\frac{ \cos \left(2t\right)+ \sin \left(2t\right)}{\sqrt{2}} \right)$$
$$f\left(t\right)=\sqrt{2}\left(\frac{ \cos \left(2t\right)}{\sqrt{2}} +\frac{ \sin \left(2t\right)}{\sqrt{2}} \right)$$
$$f\left(t\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(2t\right)+\frac{1 }{\sqrt{2}} \sin \left(2t\right)\right)$$ . $$\;\;$$ Or on vérifie aisément que : $$\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{1\times \sqrt{2} }{\sqrt{2} \times \sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$$
$$f\left(t\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(2t\right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(2t\right)\right)$$
L'expression $$\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(2t\right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(2t\right)$$ est de la forme $$\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)+\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$$
Nous devons chercher une valeur de $$\theta$$ qui vérifie $$\cos \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$$ et $$\sin \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$$
A l'aide du cercle trigonométrique ci-dessous, $$\theta =\frac{\pi}{4}$$ convient car $$\red{\cos \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2} }$$ et $$\green{\sin\left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2} }$$
Nous pouvons alors écrire que :
$$f\left(t\right)=\sqrt{2}\left(\red{\frac{\sqrt{2} }{2}} \cos \left(2t\right)+\green{\frac{\sqrt{2} }{2} }\sin \left(2t\right)\right)$$
$$f\left(t\right)=\sqrt{2}\left(\red{\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)} \sin \left(2t\right)+\green{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)} \sin \left(2t\right)\right)$$
Or, nous savons que : $$\cos \left({\color{blue}{a}}-{\color{red}{b}}\right)=\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)+\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$$
Ainsi :

$$f\left(t\right)$$ est bien sous la forme $$A\cos \left(2t+\varphi \right)$$ avec $$A=\sqrt{2}$$ et $$\varphi=-\frac{\pi}{4}$$ .