Transformer l'expression acos(ωt)+bsin(ωt) en Acos(ωt+φ) - Exercice 2
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On considère la fonction f définie sur R par : f(t)=cos(2t)+sin(2t)
Question 1
Pour tout réel t, écrire f(t) sous la forme Acos(2t+φ) avec A et φ à déterminer.
Correction
La fonction f(t)=cos(2t)+sin(2t) est bien de la forme acos(ωt)+bsin(ωt) . On identifie a=1 ; b=1 et ω=2 Pour pourvoir exprimer f(t) sous la forme Acos(2t+φ). Il va falloir suivre les deux étapes suivantes.
Premieˋre eˊtape : Calculons la valeur de A
La valeur de A est égale à A=a2+b2 A=12+12 Ainsi :
A=2
Deuxieˋme eˊtape : Nous allons factoriser f(t) par la valeur A=2
Soit f(t)=cos(2t)+sin(2t) . Factorisons cette expression par A=2. Cela nous donne : f(t)=2(2cos(2t)+sin(2t)) f(t)=2(2cos(2t)+2sin(2t)) f(t)=2(21cos(2t)+21sin(2t)) . Or on vérifie aisément que : 21=2×21×2=22 f(t)=2(22cos(2t)+22sin(2t)) L'expression 22cos(2t)+22sin(2t) est de la forme cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) Nous devons chercher une valeur de θ qui vérifie cos(θ)=22 et sin(θ)=22 A l'aide du cercle trigonométrique ci-dessous, θ=4π convient car cos(θ)=22 et sin(θ)=22
Nous pouvons alors écrire que : f(t)=2(22cos(2t)+22sin(2t)) f(t)=2(cos(4π)sin(2t)+sin(4π)sin(2t)) Or, nous savons que : cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) Ainsi :
f(t)=2cos(2t−4π)
f(t) est bien sous la forme Acos(2t+φ) avec A=2 et φ=−4π .
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