Transformer l'expression $${\color{red}{a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)}}$$ en $${\color{blue}{A\cos \left(\omega t+\varphi \right)}}$$ - Exercice 1

La fonction $$f\left(t\right)=\sqrt{2} \cos \left(5t\right)-\sqrt{2} \sin \left(5t\right)$$ est bien de la forme $$a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)$$ . On identifie $$a=\sqrt{2}$$ ; $$b=-\sqrt{2}$$ et $$\omega =5$$
Pour pourvoir exprimer $$f\left(t\right)$$ sous la forme $$A\cos \left(5 t+\varphi \right)$$. Il va falloir suivre les deux étapes suivantes.

$$\blue{\text{Première étape :}}$$ Calculons la valeur de $$A$$

La valeur de $$A$$ est égale à
$$A=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$$
$$A=\sqrt{\left(\sqrt{2} \right)^{2} +\left(-\sqrt{2} \right)^{2} }$$
$$A=\sqrt{2+2}$$
$$A=\sqrt{4}$$
Ainsi :

$$\blue{\text{Deuxième étape :}}$$ Nous allons factoriser $$f\left(t\right)$$ par la valeur $$A=2$$

Soit $$f\left(t\right)=\sqrt{2} \cos \left(5t\right)-\sqrt{2} \sin \left(5t\right)$$ . Factorisons cette expression par $$A=2$$. Cela nous donne :
$$f\left(t\right)=2\left(\frac{\sqrt{2} \cos \left(5t\right)-\sqrt{2} \sin \left(5t\right)}{2} \right)$$
$$f\left(t\right)=2\left(\frac{\sqrt{2} \cos \left(5t\right)}{2} -\frac{\sqrt{2} \sin \left(5t\right)}{2} \right)$$
$$f\left(t\right)=2\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(5t\right)-\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(5t\right)\right)$$
L'expression $$\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(5t\right)-\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(5t\right)$$ est de la forme $$\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)-\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$$
Nous devons chercher une valeur de $$\theta$$ qui vérifie $$\cos \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$$ et $$\sin \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$$
A l'aide du cercle trigonométrique ci-dessous, $$\theta =\frac{\pi}{4}$$ convient car $$\red{\cos \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2} }$$ et $$\green{\sin\left(\theta \right)=\frac{\sqrt{2} }{2} }$$
Nous pouvons alors écrire que :
$$f\left(t\right)=2\left(\red{\frac{\sqrt{2} }{2}} \cos \left(5t\right)-\green{\frac{\sqrt{2} }{2} }\sin \left(5t\right)\right)$$
$$f\left(t\right)=2\left(\red{\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)} \sin \left(5t\right)-\green{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)} \sin \left(5t\right)\right)$$
Or, nous savons que : $$\cos \left({\color{blue}{a}}+{\color{red}{b}}\right)=\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)-\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$$
Ainsi :

$$f\left(t\right)$$ est bien sous la forme $$A\cos \left(5 t+\varphi \right)$$ avec $$A=2$$ et $$\varphi=\frac{\pi}{4}$$ .