Nombres complexes

Transformation géométrique : la translation - Exercice 1

8 min
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Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Question 1

On considère le vecteur w→\overrightarrow{w} d'affixe 2+4i2+4i et le point AA d'affixe zA=3−5iz_{A}=3-5i .
Déterminer l'affixe du point A′A' image du point AA par la translation de vecteur w→\overrightarrow{w} .

Correction
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et M′M' un point d'affixe z′z'. Soit un vecteur w→\overrightarrow{w} d'affixe zw→z_{\overrightarrow{w} }
  • M′M' est l'image de MM par la translation\red{\text{la translation}} de vecteur w→\overrightarrow{w} si et seulement si z′=z+zw→z'=z+z_{\overrightarrow{w} }
    • Nous cherchons l'affixe zA′z_{A}^{'} du point A′A' et nous savons que zA=2+4iz_A=2+4i et zw→=3−5iz_{\overrightarrow{w} }=3-5i .
    Il vient alors que :
    zA′=zA+zw→z_{A}^{'} =z_A+z_{\overrightarrow{w} }
    zA′=2+4i+3−5iz_{A}^{'} =2+4i+3-5i
    Ainsi :
    zA′=5−iz_{A}^{'} =5-i
    Question 2

    On considère le vecteur w→\overrightarrow{w} d'affixe −1−3i-1-3i et le point d'affixe zB=7+2iz_{B}=7+2i .
    Déterminer l'affixe du point B′B' image du point BB par la translation de vecteur w→\overrightarrow{w} .

    Correction
    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et M′M' un point d'affixe z′z'. Soit un vecteur w→\overrightarrow{w} d'affixe zw→z_{\overrightarrow{w} }
  • M′M' est l'image de MM par la translation\red{\text{la translation}} de vecteur w→\overrightarrow{w} si et seulement si z′=z+zw→z'=z+z_{\overrightarrow{w} }
    • Nous cherchons l'affixe zB′z_{B}^{'} du point B′B' et nous savons que zB=7+2iz_B=7+2i et zw→=−1−3iz_{\overrightarrow{w} }=-1-3i .
    Il vient alors que :
    zB′=zB+zw→z_{B}^{'} =z_B+z_{\overrightarrow{w} }
    zB′=7+2i+(−1−3i)z_{B}^{'} =7+2i+\left(-1-3i\right)
    zB′=7+2i−1−3iz_{B}^{'} =7+2i-1-3i
    Ainsi :
    zB′=6−iz_{B}^{'} =6-i
    Question 3

    On considère le vecteur w→\overrightarrow{w} d'affixe 11−8i11-8i et le point d'affixe zC=iz_{C}=i .
    Déterminer l'affixe du point C′C' image du point CC par la translation de vecteur w→\overrightarrow{w} .

    Correction
    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et M′M' un point d'affixe z′z'. Soit un vecteur w→\overrightarrow{w} d'affixe zw→z_{\overrightarrow{w} }
  • M′M' est l'image de MM par la translation\red{\text{la translation}} de vecteur w→\overrightarrow{w} si et seulement si z′=z+zw→z'=z+z_{\overrightarrow{w} }
    • Nous cherchons l'affixe zC′z_{C}^{'} du point C′C' et nous savons que zC=iz_C=i et zw→=11−8iz_{\overrightarrow{w} }=11-8i .
    Il vient alors que :
    zC′=zC+zw→z_{C}^{'} =z_C+z_{\overrightarrow{w} }
    zC′=i+11−8iz_{C}^{'} =i+11-8i
    Ainsi :
    zC′=11−7iz_{C}^{'} =11-7i