Nombres complexes

Transformation géométrique : la rotation - Exercice 1

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Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Question 1

Quelle est l'expression complexe de la rotation de centre OO et d'angle π4\frac{\pi}{4}.

Correction
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et M′M' un point d'affixe z′z'. Soit θ\theta un nombre réel.
  • M′M' est l'image de MM par la rotation\red{\text{la rotation}} de centre OO et d'angle θ\theta si et seulement si z′=eiθzz'=e^{i\theta}z
    • En utilisant le rappel, on peut alors écrire que :
    z′=eiπ4zz'=e^{i\frac{\pi}{4}}z

    Question 2

    On considère la rotation de centre OO et d'angle π2\frac{\pi}{2} et le point AA d'affixe zA=3−4iz_{A}=3-4i .
    Déterminer l'affixe du point A′A' image de AA par la rotation de centre OO et d'angle π2\frac{\pi}{2} .

    Correction
    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et M′M' un point d'affixe z′z'. Soit θ\theta un nombre réel.
  • M′M' est l'image de MM par la rotation\red{\text{la rotation}} de centre OO et d'angle θ\theta si et seulement si z′=eiθzz'=e^{i\theta}z
    • Nous cherchons l'affixe zA′z_{A}^{'} du point A′A' et nous savons que zA=3−4iz_A=3-4i et l'angle θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} .
    Il vient alors que :
    zA′=eiθzAz_{A}^{'} =e^{i\theta}z_{A}
    zA′=eiπ2×(3−4i)z_{A}^{'} =e^{i\frac{\pi}{2}}\times \left(3-4i\right)
    zA′=(cos⁡(π2)+isin⁡(π2))×(3−4i)z_{A}^{'} =\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\times \left(3-4i\right)
    zA′=(0+i)×(3−4i)z_{A}^{'} =\left(0+i\right)\times \left(3-4i\right)
    zA′=i×(3−4i)z_{A}^{'} =i\times \left(3-4i\right)
    zA′=i×3+i×(−4i)z_{A}^{'} =i\times 3+i\times \left(-4i\right)
    zA′=3i−4i2z_{A}^{'} =3i-4i^{2}
    zA′=3i−4×(−1)z_{A}^{'} =3i-4\times \left(-1\right)
    Ainsi :
    zA′=4+3iz_{A}^{'} =4+3i