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Nombres complexes

Transformation géométrique : l'homothétie - Exercice 1

5 min
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Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Question 1

On considère l'homothétie de centre OO et de rapport 22 et le point AA d'affixe zA=3iz_{A}=-3i .
Déterminer l'affixe du point AA' image de AA par l'homothétie de centre OO et de rapport 22 .

Correction
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et MM' un point d'affixe zz'. Soit kk un nombre réel.
  • MM' est l'image de MM par l’himotheˊtie\red{\text{l'himothétie}} de centre OO et de rapport kk si et seulement si z=kzz'=kz
  • Nous cherchons l'affixe zAz_{A}^{'} du point AA' et nous savons que zA=3iz_A=-3i et le rapport de l'homothétie est k=2k=2.
    Il vient alors que :
    zA=k×zAz_{A}^{'} =k\times z_{A}
    zA=2×(3i)z_{A}^{'} =2\times \left(-3i\right)
    Ainsi :
    zA=6iz_{A}^{'} =-6i

    Question 2

    On considère l'homothétie de centre OO et de rapport 14\frac{1}{4} et le point BB d'affixe zB=128iz_{B}=12-8i .
    Déterminer l'affixe du point BB' image de BB par l'homothétie de centre OO et de rapport 14\frac{1}{4} .

    Correction
    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
  • Soient MM un point d'affixe zz et MM' un point d'affixe zz'. Soit kk un nombre réel.
  • MM' est l'image de MM par l’himotheˊtie\red{\text{l'himothétie}} de centre OO et de rapport kk si et seulement si z=kzz'=kz
  • Nous cherchons l'affixe zBz_{B}^{'} du point BB' et nous savons que zB=128iz_B=12-8i et le rapport de l'homothétie est k=14k=\frac{1}{4}.
    Il vient alors que :
    zB=k×zBz_{B}^{'} =k\times z_{B}
    zB=14×(128i)z_{B}^{'} =\frac{1}{4}\times \left(12-8i\right)
    zB=14×12+14×(8i)z_{B}^{'} =\frac{1}{4} \times 12+\frac{1}{4} \times \left(-8i\right)
    zB=12484iz_{B}^{'} =\frac{12}{4} -\frac{8}{4} i
    Ainsi :
    zB=32iz_{B}^{'} =3-2i