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Résoudre dans C\mathbb{C} une équation du premier degré - Exercice 1

10 min
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Résoudre dans C\mathbb{C} les équation suivantes. Les résultats doivent être données sous forme algébrique.
Question 1

2z−5i=5z−22z-5i=5z-2

Correction
2z−5i=5z−22z-5i=5z-2   \; équivaut successivement à :
2z−5z=−2+5i2z-5z=-2+5i
−3z=−2+5i-3z=-2+5i
z=−2+5i−3z=\frac{-2+5i}{-3}
z=−2−3+5i−3z=\frac{-2}{-3} +\frac{5i}{-3}
Ainsi :
z=23−53iz=\frac{2}{3} -\frac{5}{3} i

Question 2

3(2z−4i)=4z−7i3\left(2z-4i\right)=4z-7i

Correction
3(2z−4i)=4z−7i3\left(2z-4i\right)=4z-7i   \; équivaut successivement à :
3×2z+3×(−4i)=4z−7i3\times 2z+3\times \left(-4i\right)=4z-7i
6z−12i=4z−7i6z-12i=4z-7i
6z−4z=−7i+12i6z-4z=-7i+12i
2z=5i2z=5i
z=5i2z=\frac{5i}{2} que l'on peut également écrire :
z=52iz=\frac{5}{2} i

Question 3

2iz−7=02iz-7=0

Correction
2iz−7=02iz-7=0   \; équivaut successivement à :
2iz=72iz=7
z=72iz=\frac{7}{2i}
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z=7×(−2i)2i×(−2i)z=\frac{7\times \left(-2i\right)}{2i\times \left(-2i\right)}
    z=−14i4z=\frac{-14i}{4}
    Ainsi :
    z=−72iz=-\frac{7}{2} i

    Question 4

    (3+4i)z=3\left(3+4i\right)z=3

    Correction
    (3+4i)z=3\left(3+4i\right)z=3  \; équivaut successivement à :
    z=33+4iz=\frac{3}{3+4i}
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z=3(3−4i)(3+4i)(3−4i)z=\frac{3\left(3-4i\right)}{\left(3+4i\right)\left(3-4i\right)}
    z=3×3+3×(−4i)32+42z=\frac{3\times 3+3\times \left(-4i\right)}{3^{2} +4^{2} }
    z=9−12i9+16z=\frac{9-12i}{9+16}
    z=9−12i25z=\frac{9-12i}{25}
    Ainsi :
    z=925−1225iz=\frac{9}{25} -\frac{12}{25} i

    Question 5

    2z+3=iz−5i2z+3=iz-5i

    Correction
    2z+3=iz−5i2z+3=iz-5i   \; équivaut successivement à :
    2z−iz=−5i−32{\color{blue}{z}}-i{\color{blue}{z}}=-5i-3 . Nous allons maintenant factoriser par z{\color{blue}{z}} .
    (2−i)z=−5i−3\left(2-i\right){\color{blue}{z}}=-5i-3
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z=−5i−32−iz=\frac{-5i-3}{2-i}
    z=(−5i−3)(2+i)(2−i)(2+i)z=\frac{\left(-5i-3\right)\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}
    z=(−5i)×2+(−5i)×i+(−3)×2+(−3)×i22+12z=\frac{\left(-5i\right)\times 2+\left(-5i\right)\times i+\left(-3\right)\times 2+\left(-3\right)\times i}{2^{2} +1^{2} }
    z=−10i−5i2−6−3i5z=\frac{-10i-5i^{2} -6-3i}{5}
    z=−10i−5×(−1)−6−3i5z=\frac{-10i-5\times \left(-1\right)-6-3i}{5}
    z=−10i+5−6−3i5z=\frac{-10i+5-6-3i}{5}
    z=−1−13i5z=\frac{-1-13i}{5}
    AInsi :
    z=−15−135iz=-\frac{1}{5} -\frac{13}{5} i

    Question 6

    (2z−7i+3)(z+4i)=0\left(2z-7i+3\right)\left(z+4i\right)=0

    Correction
    (2z−7i+3)(z+4i)=0\left(2z-7i+3\right)\left(z+4i\right)=0 Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (2z−7i+3)(z+4i)=0\left(2z-7i+3\right)\left(z+4i\right)=0 revient à résoudre :
    2z−7i+3=02z-7i+3=0 ou z+4i=0z+4i=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons 2z−7i+3=02z-7i+3=0 qui donne 2z=7i−32z=7i-3 et enfin z=7i−32=−32+72iz=\frac{7i-3}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons z+4i=0z+4i=0 qui donne z=−4iz=-4i
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−32+72i;−4i}S=\left\{-\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i;-4i\right\}

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