Résoudre dans $$\mathbb{C}$$ les équations de la forme $$z^{2}=a$$ où $$a$$ est un réel - Exercice 1

D'après le rappel, il vient que :
$$z^{2}=6$$ équivaut successivement à :
$$z=\sqrt{6}$$ ou $$z=-\sqrt{6}$$
Ainsi les solutions de l'équation $$z^{2}=6$$ sont :

Dans cette situation, nous avons $$z^{2}=-4$$ avec $$-4<0$$ . Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions réelles.
Cependant, n'oublions pas que nous travaillons avec les nombres complexes. Nous savons que $$-4=\left(2i\right)^{2}$$ .
On peut alors écrire que :
$$z^{2}=-4$$
$$z^{2}=\left(2i\right)^{2}$$
$$z^{2}-\left(2i\right)^{2}=0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$z^{2}-\left(2i\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$${\color{blue}z}^{2} -\left({\color{red}2i}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}z}$$ et $$b={\color{red}2i}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}z}-\color{red}2i\right)\left({\color{blue}z}+\color{red}2i\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(z-2i\right)\left(z+2i\right)=0$$ revient à résoudre :
$$z-2i=0$$ ou $$z+2i=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$z-2i=0$$ qui donne $$z=2i$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$z+2i=0$$ qui donne $$z=-2i$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Dans cette situation, nous avons $$z^{2}=-25$$ avec $$-25<0$$ . Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions réelles.
Cependant, n'oublions pas que nous travaillons avec les nombres complexes. Nous savons que $$-25=\left(5i\right)^{2}$$ .
On peut alors écrire que :
$$z^{2}=-25$$
$$z^{2}=\left(5i\right)^{2}$$
$$z^{2}-\left(5i\right)^{2}=0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$z^{2}-\left(5i\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$${\color{blue}z}^{2} -\left({\color{red}5i}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}z}$$ et $$b={\color{red}5i}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}z}-\color{red}5i\right)\left({\color{blue}z}+\color{red}5i\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(z-5i\right)\left(z+5i\right)=0$$ revient à résoudre :
$$z-5i=0$$ ou $$z+5i=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$z-5i=0$$ qui donne $$z=5i$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$z+5i=0$$ qui donne $$z=-5i$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Dans cette situation, nous avons $$\left(z-3\right)^{2} =-49$$ avec $$-49<0$$ . Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions réelles.
Cependant, n'oublions pas que nous travaillons avec les nombres complexes. Nous savons que $$-49=\left(7i\right)^{2}$$ .
On peut alors écrire que :
$$\left(z-3\right)^{2} =-49$$
$$\left(z-3\right)^{2} =\left(7i\right)^{2}$$
$$\left(z-3\right)^{2} -\left(7i\right)^{2} =0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(z-3\right)^{2} -\left(7i\right)^{2} =0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}z-3}\right)^{2} -\left({\color{red}7i}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}z-3}$$ et $$b={\color{red}7i}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}z-3}-{\color{red}7i}\right)\left({\color{blue}z-3}+{\color{red}7i}\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(z-3-7i\right)\left(z-3+7i\right)=0$$ revient à résoudre :
$$z-3-7i=0$$ ou $$z-3+7i=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$z-3-7i=0$$ qui donne $$z=3+7i$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$z-3+7i=0$$ qui donne $$z=3-7i$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$2z^{2}+18=0$$
$$2z^{2}=-18$$
$$z^{2}=\frac{-18}{2}$$
$$z^{2}=-9$$
Dans cette situation, nous avons $$z^{2}=-9$$ avec $$-9<0$$ . Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions réelles.
Cependant, n'oublions pas que nous travaillons avec les nombres complexes. Nous savons que $$-9=\left(3i\right)^{2}$$ .
On peut alors écrire que :
$$z^{2}=-9$$
$$z^{2}=\left(3i\right)^{2}$$
$$z^{2}-\left(3i\right)^{2}=0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$z^{2}-\left(3i\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$${\color{blue}z}^{2} -\left({\color{red}3i}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}z}$$ et $$b={\color{red}3i}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}z}-\color{red}3i\right)\left({\color{blue}z}+\color{red}3i\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(z-3i\right)\left(z+3i\right)=0$$ revient à résoudre :
$$z-3i=0$$ ou $$z+3i=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$z-3i=0$$ qui donne $$z=3i$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$z+3i=0$$ qui donne $$z=-3i$$

Les solutions de l'équation sont alors :