Nombres complexes

Passer de la forme exponentielle à la forme algébrique - Exercice 2

6 min
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Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :
Question 1

z1z_{1} de module 66 et d'argument π2\frac{\pi}{2}

Correction
Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
Nous savons que z1z_{1} admet un module égale à 66 et d'argument π2\frac{\pi}{2} .
Nous pouvons donc donner la forme exponentielle de z1z_{1} .
z1=6eiπ2z_{1} =6e^{i{\color{blue}{\frac{\pi }{2}}} }
Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • Ce qui nous permet d'écrire :
    z1=6×(cos⁡(π2)+isin⁡(π2))z_{1} =6\times \left(\cos \left({\color{blue}{\frac{\pi }{2}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{\frac{\pi }{2}}} \right)\right)
    z1=6×cos⁡(π2)+6×isin⁡(π2)z_{1} =6\times \cos \left(\frac{\pi }{2} \right)+6\times i\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)
    z1=6×0+6×i×1z_{1} =6\times 0 +6\times i\times 1
    Ainsi :
    z1=6iz_{1} =6i

    Question 2

    z2z_{2} de module 33 et d'argument π4\frac{\pi}{4}

    Correction
    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    Nous savons que z2z_{2} admet un module égale à 33 et d'argument π4\frac{\pi}{4} .
    Nous pouvons donc donner la forme exponentielle de z2z_{2} .
    z2=3eiπ4z_{2} =3e^{i{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} }
    Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • Ce qui nous permet d'écrire :
    z2=3×(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))z_{2} =3\times \left(\cos \left({\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right)\right)
    z2=3×cos⁡(π4)+3×isin⁡(π4)z_{2} =3\times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+3\times i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
    z2=3×22+3×i×22z_{2} =3\times \frac{\sqrt{2} }{2} +3\times i\times \frac{\sqrt{2} }{2}
    z2=3×22+3×22iz_{2} =\frac{3\times \sqrt{2} }{2} +\frac{3\times \sqrt{2} }{2} i
    Ainsi :
    z2=322+322iz_{2} =\frac{3 \sqrt{2} }{2} +\frac{3 \sqrt{2} }{2} i

    Question 3

    z3z_{3} de module 55 et d'argument 5π6\frac{5\pi}{6}

    Correction
    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    Nous savons que z3z_{3} admet un module égale à 55 et d'argument 5π6\frac{5\pi}{6} .
    Nous pouvons donc donner la forme exponentielle de z3z_{3} .
    z3=5ei5π6z_{3} =5e^{i{\color{blue}{\frac{5\pi }{6}}} }
    Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • Ce qui nous permet d'écrire :
    z3=5×(cos⁡(5π6)+isin⁡(5π6))z_{3} =5\times \left(\cos \left({\color{blue}{\frac{5\pi }{6}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{\frac{5\pi }{6}}} \right)\right)
    z3=5×cos⁡(5π6)+5×isin⁡(5π6)z_{3} =5\times \cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)+5\times i\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)
    z3=5×(−32)+5×i×12z_{3} =5\times\left(- \frac{\sqrt{3} }{2}\right) +5\times i\times \frac{1 }{2}
    Ainsi :
    z3=−532+52iz_{3} =-\frac{5 \sqrt{3} }{2} +\frac{5 }{2} i