Nombres complexes

Opérations sous forme exponentielle : le quotient (division) - Exercice 1

10 min
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Simplifier les calculs suivants en les mettant sous la forme reiθre^{i\theta } où rr et θ\theta sont deux réels.
Question 1

z1=4eiπ32eiπ4z_{1} =\frac{4e^{i\frac{\pi }{3} } }{2e^{i\frac{\pi }{4} } }

Correction
Soient r\red{r}, r′{\color{blue}{r'}}, θ\green{\theta } et θ′\pink{\theta'} quatre réels avec r′≠0{\color{blue}{r'\ne0}}, on a alors :
  • reiθr′eiθ′=rr′×ei(θ−θ′)\frac{\red{r}e^{i\green{\theta }} } {{\color{blue}{r'}}e^{i\pink{\theta '}}} =\frac{\red{r}}{{\color{blue}{r'}}}\times e^{i\left(\green{\theta} -\pink{\theta '}\right)}
    • z1=4eiπ32eiπ4z_{1} =\frac{\red{4}e^{i\green{\frac{\pi }{3} }} }{{\color{blue}{2}}e^{i\pink{\frac{\pi }{4} }} } équivaut successivement à :
    z1=42×ei(π3−π4)z_{1} =\frac{\red{4}}{{\color{blue}{2}}} \times e^{i\left(\green{\frac{\pi }{3}} -\pink{\frac{\pi }{4}} \right)}
    z1=2ei(π3−π4)z_{1} =2e^{i\left(\frac{\pi }{3} -\frac{\pi }{4} \right)}
    z1=2ei(4×π4×3−π×34×3)z_{1} =2e^{i\left(\frac{4\times \pi }{4\times 3} -\frac{\pi \times 3}{4\times 3} \right)}
    z1=2ei(4π12−3π12)z_{1} =2e^{i\left(\frac{4\pi }{12} -\frac{3\pi }{12} \right)}
    Ainsi :
    z1=2eiπ12z_{1} =2e^{i\frac{\pi }{12} }

    Question 2

    z2=5eiπ23eiπ6z_{2} =\frac{5e^{i\frac{\pi }{2} } }{3e^{i\frac{\pi }{6} } }

    Correction
    Soient r\red{r}, r′{\color{blue}{r'}}, θ\green{\theta } et θ′\pink{\theta'} quatre réels avec r′≠0{\color{blue}{r'\ne0}}, on a alors :
  • reiθr′eiθ′=rr′×ei(θ−θ′)\frac{\red{r}e^{i\green{\theta }} } {{\color{blue}{r'}}e^{i\pink{\theta '}}} =\frac{\red{r}}{{\color{blue}{r'}}}\times e^{i\left(\green{\theta} -\pink{\theta '}\right)}
    • z2=5eiπ23eiπ6z_{2} =\frac{\red{5}e^{i\green{\frac{\pi }{2} }} }{{\color{blue}{3}}e^{i\pink{\frac{\pi }{6} }} } équivaut successivement à :
    z2=53×ei(π2−π6)z_{2} =\frac{\red{5}}{{\color{blue}{3}}} \times e^{i\left(\green{\frac{\pi }{2}} -\pink{\frac{\pi }{6}} \right)}
    z2=53ei(3×π3×2−π6)z_{2} =\frac{5}{3} e^{i\left(\frac{3\times \pi }{3\times 2} -\frac{\pi }{6} \right)}
    z2=53ei(3π6−π6)z_{2} =\frac{5}{3} e^{i\left(\frac{3\pi }{6} -\frac{\pi }{6} \right)}
    z2=53ei2π6z_{2} =\frac{5}{3} e^{i\frac{2\pi }{6} }
    z2=53ei2π2×3z_{2} =\frac{5}{3} e^{i\frac{2\pi }{2\times 3} }
    Ainsi :
    z2=53eiπ3z_{2} =\frac{5}{3} e^{i\frac{\pi }{3} }
    Question 3

    z3=25eiπ45e−i5π6z_{3} =\frac{25e^{i\frac{\pi }{4} } }{5e^{-i\frac{5\pi }{6} } }

    Correction
    Soient r\red{r}, r′{\color{blue}{r'}}, θ\green{\theta } et θ′\pink{\theta'} quatre réels avec r′≠0{\color{blue}{r'\ne0}}, on a alors :
  • reiθr′eiθ′=rr′×ei(θ−θ′)\frac{\red{r}e^{i\green{\theta }} } {{\color{blue}{r'}}e^{i\pink{\theta '}}} =\frac{\red{r}}{{\color{blue}{r'}}}\times e^{i\left(\green{\theta} -\pink{\theta '}\right)}
    • z3=25eiπ45e−i5π6z_{3} =\frac{\red{25}e^{i\green{\frac{\pi }{4} }} }{{\color{blue}{5}}e^{\pink{-}i\pink{\frac{5\pi }{6} }} } équivaut successivement à :
    z3=255×ei(π4−(−5π6))z_{3} =\frac{\red{25}}{{\color{blue}{5}}} \times e^{i\left(\green{\frac{\pi }{4}} -\left(\pink{-\frac{5\pi }{6}} \right)\right)}
    z3=5ei(π4+5π6)z_{3} =5 e^{i\left(\frac{ \pi }{4} +\frac{5\pi }{6} \right)}
    z3=5ei(3×π3×4+2×5π2×6)z_{3} =5e^{i\left(\frac{3\times \pi }{3\times 4} +\frac{2\times 5\pi }{2\times 6} \right)}
    z3=5ei(3π12+10π12)z_{3} =5e^{i\left(\frac{3\pi }{12} +\frac{10\pi }{12} \right)}
    Ainsi :
    z3=5ei13π12z_{3} =5e^{i\frac{13\pi }{12} }