Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

$$AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|$$ équivaut successivement à :
$$AB=\left|4-2i-\left(1+i\right)\right|$$
$$AB=\left|4-2i-1-i\right|$$
$$AB=\left|3-3i\right|$$
$$AB=\sqrt{3^{2} +\left(-3\right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{9+9}$$
Ainsi :

$$BC=\left|z_{C} -z_{B} \right|$$ équivaut successivement à :
$$BC=\left|4+4i-\left(4-2i\right)\right|$$
$$BC=\left|4+4i-4+2i\right|$$
$$BC=\left|6i\right|$$
$$BC=\sqrt{6^{2} }$$
$$BC=\sqrt{36}$$
Ainsi :

$$AC=\left|z_{C} -z_{A} \right|$$ équivaut successivement à :
$$AC=\left|4+4i-\left(1+i\right)\right|$$
$$AC=\left|4+4i-1-i\right|$$
$$AC=\left|3+3i\right|$$
$$AC=\sqrt{3^{2} +3^{2} }$$
$$AC=\sqrt{9+9}$$
Ainsi :

Nous venons de montrer que $$AC=\sqrt{18}$$ et que $$AB=\sqrt{18}$$.
Le triangle $$ABC$$ est alors isocèle en $$A$$.
Cependant, d'après la question $$1$$, on conjecture que le triangle est également rectangle.
Nous allons le démontrer.
On vérifie que :
$$\red{\text{D'une part : }}$$ $$BC^{2} =6^{2}=36$$
$$\red{\text{D'autre part : }}$$ $$AB^{2}+AC^{2} =\left(\sqrt{18}\right)^{2}+\left(\sqrt{18}\right)^{2}=18+18=36$$
Nous avons donc $$AB^{2}+AC^{2} =BC^{2}$$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$.
Finalement, le triangle $$ABC$$ est un triangle rectangle isocèle en $$A$$.