Nouveau

🤔 Bloqué sur un exercice ou une notion de cours ? Échange avec un prof sur le tchat !Découvrir  →

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

12 min
25
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Soient les points AA, BB et CC d'affixes respectives zA=1+iz_{A} =1+i , zB=4−2iz_{B} =4-2i et zC=4+4iz_{C} =4+4i .
Question 1

Construire les points AA, BB et CC dans le plan complexe.

Correction
Question 2

Calculer la distance ABAB .

Correction
    Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AB=∣zB−zA∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right| équivaut successivement à :
    AB=∣4−2i−(1+i)∣AB=\left|4-2i-\left(1+i\right)\right|
    AB=∣4−2i−1−i∣AB=\left|4-2i-1-i\right|
    AB=∣3−3i∣AB=\left|3-3i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • AB=32+(−3)2AB=\sqrt{3^{2} +\left(-3\right)^{2} }
    AB=9+9AB=\sqrt{9+9}
    Ainsi :
    AB=18AB=\sqrt{18}

    Question 3

    Calculer la distance BCBC .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • BC=∣zC−zB∣BC=\left|z_{C} -z_{B} \right| équivaut successivement à :
    BC=∣4+4i−(4−2i)∣BC=\left|4+4i-\left(4-2i\right)\right|
    BC=∣4+4i−4+2i∣BC=\left|4+4i-4+2i\right|
    BC=∣6i∣BC=\left|6i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • BC=62BC=\sqrt{6^{2} }
    BC=36BC=\sqrt{36}
    Ainsi :
    BC=6BC=6

    Question 4

    Calculer la distance ACAC .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AC=∣zC−zA∣AC=\left|z_{C} -z_{A} \right| équivaut successivement à :
    AC=∣4+4i−(1+i)∣AC=\left|4+4i-\left(1+i\right)\right|
    AC=∣4+4i−1−i∣AC=\left|4+4i-1-i\right|
    AC=∣3+3i∣AC=\left|3+3i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • AC=32+32AC=\sqrt{3^{2} +3^{2} }
    AC=9+9AC=\sqrt{9+9}
    Ainsi :
    AC=18AC=\sqrt{18}

    Question 5

    En déduire la nature du triangle ABCABC .

    Correction
    Nous venons de montrer que AC=18AC=\sqrt{18} et que AB=18AB=\sqrt{18} .
    Le triangle ABCABC est alors isocèle en AA.
    Cependant, d'après la question 11, on conjecture que le triangle est également rectangle.
    Nous allons le démontrer.
    On vérifie que :
    D’une part : \red{\text{D'une part : }} BC2=62=36BC^{2} =6^{2}=36
    D’autre part : \red{\text{D'autre part : }} AB2+AC2=(18)2+(18)2=18+18=36AB^{2}+AC^{2} =\left(\sqrt{18}\right)^{2}+\left(\sqrt{18}\right)^{2}=18+18=36
    Nous avons donc AB2+AC2=BC2AB^{2}+AC^{2} =BC^{2}
    D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.
    Finalement, le triangle ABCABC est un triangle rectangle isocèle en AA.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.