Nombres complexes

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

10 min
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Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Soient les points AA, BB et CC d'affixes respectives zA=5−2iz_{A} =5-2i , zB=iz_{B} =i et zC=3−4iz_{C} =3-4i .
Question 1

Construire les points AA, BB et CC dans le plan complexe.

Correction
Question 2

Calculer la distance ABAB .

Correction
    Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AB=∣zB−zA∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right| équivaut successivement à :
    AB=∣i−(5−2i)∣AB=\left|i-\left(5-2i\right)\right|
    AB=∣i−5+2i∣AB=\left|i-5+2i\right|
    AB=∣−5+3i∣AB=\left|-5+3i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • AB=(−5)2+32AB=\sqrt{\left(-5\right)^{2} +3^{2} }
    AB=25+9AB=\sqrt{25+9}
    Ainsi :
    AB=34AB=\sqrt{34}

    Question 3

    Calculer la distance BCBC .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • BC=∣zC−zB∣BC=\left|z_{C} -z_{B} \right| équivaut successivement à :
    BC=∣3−4i−i∣BC=\left|3-4i-i\right|
    BC=∣−3−5i∣BC=\left|-3-5i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • BC=(−3)2+(−5)2BC=\sqrt{\left(-3\right)^{2} +\left(-5\right)^{2} }
    BC=9+25BC=\sqrt{9+25}
    Ainsi :
    BC=34BC=\sqrt{34}

    Question 4

    Calculer la distance ACAC .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AC=∣zC−zA∣AC=\left|z_{C} -z_{A} \right| équivaut successivement à :
    AC=∣3−4i−(5−2i)∣AC=\left|3-4i-\left(5-2i\right)\right|
    AC=∣3−4i−5+2i∣AC=\left|3-4i-5+2i\right|
    AC=∣−2−2i∣AC=\left|-2-2i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • AC=(−2)2+(−2)2AC=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)^{2} }
    AC=4+4AC=\sqrt{4+4}
    Ainsi :
    AC=8AC=\sqrt{8}

    Question 5

    En déduire la nature du triangle ABCABC .

    Correction
    Nous venons de montrer que BC=34BC=\sqrt{34} et que AB=34AB=\sqrt{34} .
    Le triangle ABCABC est alors isocèle en BB .