Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Septembre 2021 - Exercice 2

$$\red{\text{L'affirmation est vraie}}$$Nous allons calculer les trois cotés du triangle $$ABC$$

$$AB=\left|4+2i-\left(-1+i\right)\right|=\left|4+2i+1-i\right|=\left|5+i \right|=\sqrt{5^{2} +1^{2} } =\sqrt{26}$$

$$BC=\left|-4i-\left(4+2i\right)\right|=\left|-4i-4-2i\right|=\left|-4-6i \right|=\sqrt{\left(-4\right)^{2} +\left(-6 \right)^{2} } =\sqrt{52}$$

$$AC=\left|-4i-\left(-1+i\right)\right|=\left|-4i+1-i\right|=\left|1-5i\right|=\sqrt{1^{2} +\left(-5 \right)^{2} } =\sqrt{26}$$

On peut déjà affirmer que le triangle est isocèle en $$A$$.
Maintenant que nous connaissons les longueurs $$AB$$, $$BC$$ et $$AC$$. Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
$$\blue{\text{D'une part :}}$$ $$BC^{2}=\left(\sqrt{52}\right)^{2}=52$$
$$\blue{\text{D'autre part :}}$$ $$AC^{2}+AB^{2}=\left(\sqrt{26}\right)^{2}+\left(\sqrt{26}\right)^{2}$$ ainsi : $$AC^{2}+AB^{2}=26+26=52$$
Il en résulte donc que :
$$BC^{2} =AB^{2} +AC^{2}$$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$.
Finalement, le triangle $$ABC$$ est un triangle rectangle isocèle en $$A$$.