Nombres complexes

Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Septembre 2021 - Exercice 1

20 min
40
Pour cette question, préciser si l’affirmation est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Question 1

On considère le nombre complexe z=2i13iz=\frac{2-i}{1-3i} .
Affirmation :\blue{\text{Affirmation :}} « Le nombre complexe z4z^{4} est un nombre réel négatif. »

Correction
L’affirmation est vraie\red{\text{L'affirmation est vraie}}
Soit z=2i13iz=\frac{2-i}{1-3i} . Commençons par donner la forme algébrique de zz puis la forme exponentielle de zz.
Calculons la forme algeˊbrique de\blue{\text{Calculons la forme algébrique de}} z\blue{z}
z=(2i)(1+3i)(13i)(1+3i)z=\frac{\left(2-i\right)\left(1+3i\right)}{\left(1-3i\right)\left(1+3i\right)}
z=2×1+2×(3i)+(i)×1+(i)×3i12+32z=\frac{2\times 1+2\times \left(3i\right)+\left(-i\right)\times 1+\left(-i\right)\times 3i}{1^{2} +3^{2} }
z=2+6ii3i210z=\frac{2+6i-i-3i^{2} }{10}
z=2+6ii3×(1)10z=\frac{2+6i-i-3\times \left(-1\right)}{10}
z=2+6ii+310z=\frac{2+6i-i+3}{10}
z=5+5i10z=\frac{5+5i}{10}
z=510+5i10z=\frac{5}{10} +\frac{5i}{10}
Ainsi :
z=12+12iz=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i

Calculons la forme exponentielle de\blue{\text{Calculons la forme exponentielle de}} z\blue{z}
Soit z=12+12iz=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du module de zz
    zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iyxx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif z=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
  • z=(12)2+(12)2=24=24\left|z \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{2}{4} } =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{4} }   \; ainsi   \; z=22\left|z \right|=\frac{\sqrt{2} }{2}
    Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul d'un argument de zz
    Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de zmodule de zsin(θ)=partie imaginaire de zmodule de z\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z}{\text{module de } z} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z}{\text{module de } z } } \end{array}\right.
    On a donc : {cos(θ)=1222sin(θ)=1222\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\frac{1}{2} }{\frac{\sqrt{2} }{2} } } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\frac{1}{2} }{\frac{\sqrt{2} }{2} }} \end{array}\right.
    {cos(θ)=22sin(θ)=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
    θ=π4[2π]\theta =\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
    [2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi
    Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    Il en résulte donc que l'écriture exponentielle de zz est alors :
    z=22eiπ4z=\frac{\sqrt{2} }{2} e^{i\frac{\pi }{4} }

    Nous allons maintenant pouvoir calculer z4z^{4}
    z4=(22)4(eiπ4)4z^{4} =\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{4} \left(e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{4}
    z4=14×eiπ4×4z^{4} =\frac{1}{4} \times e^{i\frac{\pi }{4} \times 4}
    z4=14×eiπz^{4} =\frac{1}{4} \times e^{i\pi }
    Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
  • z4=14×(cos(π)+isin(π))z^{4} =\frac{1}{4} \times \left(\cos \left(\pi \right)+i\sin \left(\pi \right)\right)
    z4=14×(1+0i)z^{4} =\frac{1}{4} \times \left(-1+0i\right)
    Ainsi :
    z4=14z^{4} =-\frac{1}{4}