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Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Antilles–Guyane septembre 2022 - Exercice 1

15 min
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On note ii le nombre complexe de module 11 et d’argument π2\frac{\pi}{2} . On pose z=3iz=\sqrt{3}-i et z=2eiπ4z'=-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}} .
Question 1

Déterminer la forme exponentielle de zz. Détailler les calculs.

Correction
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du module de zz
    zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iyxx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif z=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
  • z=(3)2+(1)2=2\left|z \right|=\sqrt{\left(\sqrt{3} \right)^{2} +\left(-1\right)^{2} } =2
    Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul d'un argument de zz
    Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de zmodule de zsin(θ)=partie imaginaire de zmodule de z\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z}{\text{module de } z} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z}{\text{module de } z } } \end{array}\right.
    On a donc {cos(θ)=32sin(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
    θ=π6[2π]\theta =-\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    [2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi
    Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    Il en résulte donc que l'écriture exponentielle de zz est alors :
    z=2eiπ6z=2e^{-i\frac{\pi }{6} }

    Question 2

    En déduire la forme exponentielle de zz\frac{z}{z'} .

    Correction
    Nous venons de montrer que : z=2eiπ6z=2e^{-i\frac{\pi }{6} } et d'après les hypothèses, on a : z=2eiπ4z'=-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}} .
    zz=2eiπ62eiπ4\frac{z}{z'}=\frac{2e^{-i\frac{\pi }{6}}}{-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}}
    zz=22×eiπ6eiπ4\frac{z}{z'}=\frac{2}{-\sqrt{2}}\times \frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{e^{i\frac{\pi }{4}}}
    Soient r\red{r}, r{\color{blue}{r'}}, θ\green{\theta } et θ\pink{\theta'} quatre réels avec r0{\color{blue}{r'\ne0}}, on a alors :
  • reiθreiθ=rr×ei(θθ)\frac{\red{r}e^{i\green{\theta }} } {{\color{blue}{r'}}e^{i\pink{\theta '}}} =\frac{\red{r}}{{\color{blue}{r'}}}\times e^{i\left(\green{\theta} -\pink{\theta '}\right)}
  • zz=22×ei(π6π4)\frac{z}{z'}=-\frac{2}{\sqrt{2}}\times e^{i\left(-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}\right)}
    zz=2×22×ei(2π123π12)\frac{z}{z'}=-\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times e^{i\left(-\frac{2\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}\right)}
    zz=2×ei(5π12)\frac{z}{z'}=-\sqrt{2}\times e^{i\left(-\frac{5\pi }{12}\right)}
    Ainsi :
    zz=2ei5π12\frac{z}{z'}=-\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi }{12}}