Nombres complexes

Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Antilles–Guyane septembre 2022 - Exercice 1

15 min
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On note ii le nombre complexe de module 11 et d’argument π2\frac{\pi}{2} . On pose z=3−iz=\sqrt{3}-i et z′=−2eiπ4z'=-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}} .
Question 1

Déterminer la forme exponentielle de zz. Détailler les calculs.

Correction
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du module de zz
    zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • ∣z∣=(3)2+(−1)2=2\left|z \right|=\sqrt{\left(\sqrt{3} \right)^{2} +\left(-1\right)^{2} } =2
    Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul d'un argument de zz
    Pour l'argument θ\theta on sait que {cos⁡(θ)=partie reˊelle de zmodule de zsin⁡(θ)=partie imaginaire de zmodule de z\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z}{\text{module de } z} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z}{\text{module de } z } } \end{array}\right.
    On a donc {cos⁡(θ)=32sin⁡(θ)=−12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
    θ=−π6[2π]\theta =-\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    [2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi
    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    Il en résulte donc que l'écriture exponentielle de zz est alors :
    z=2e−iπ6z=2e^{-i\frac{\pi }{6} }

    Question 2

    En déduire la forme exponentielle de zz′\frac{z}{z'} .

    Correction
    Nous venons de montrer que : z=2e−iπ6z=2e^{-i\frac{\pi }{6} } et d'après les hypothèses, on a : z′=−2eiπ4z'=-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}} .
    zz′=2e−iπ6−2eiπ4\frac{z}{z'}=\frac{2e^{-i\frac{\pi }{6}}}{-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}}
    zz′=2−2×e−iπ6eiπ4\frac{z}{z'}=\frac{2}{-\sqrt{2}}\times \frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{e^{i\frac{\pi }{4}}}
    Soient r\red{r}, r′{\color{blue}{r'}}, θ\green{\theta } et θ′\pink{\theta'} quatre réels avec r′≠0{\color{blue}{r'\ne0}}, on a alors :
  • reiθr′eiθ′=rr′×ei(θ−θ′)\frac{\red{r}e^{i\green{\theta }} } {{\color{blue}{r'}}e^{i\pink{\theta '}}} =\frac{\red{r}}{{\color{blue}{r'}}}\times e^{i\left(\green{\theta} -\pink{\theta '}\right)}
    • zz′=−22×ei(−π6−π4)\frac{z}{z'}=-\frac{2}{\sqrt{2}}\times e^{i\left(-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}\right)}
    zz′=−2×22×ei(−2π12−3π12)\frac{z}{z'}=-\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times e^{i\left(-\frac{2\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}\right)}
    zz′=−2×ei(−5π12)\frac{z}{z'}=-\sqrt{2}\times e^{i\left(-\frac{5\pi }{12}\right)}
    Ainsi :
    zz′=−2e−i5π12\frac{z}{z'}=-\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi }{12}}