On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2π . On pose z=3−i et z′=−2ei4π .
Question 1
Déterminer la forme exponentielle de z. Détailler les calculs.
Correction
Premieˋre eˊtape : Calcul du module de z
z est un nombre complexe sous forme algébrique x+iy où x et y sont des réels.
On appelle module de z le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2 .
∣z∣=(3)2+(−1)2=2 Deuxieˋme eˊtape : Calcul d'un argument de z Pour l'argument θ on sait que {cos(θ)sin(θ)==module de zpartie reˊelle de zmodule de zpartie imaginaire de z On a donc {cos(θ)sin(θ)==23−21 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=−6π[2π]
[2π] signifie modulo 2π
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
Il en résulte donc que l'écriture exponentielle de z est alors :
z=2e−i6π
Question 2
En déduire la forme exponentielle de z′z .
Correction
Nous venons de montrer que : z=2e−i6π et d'après les hypothèses, on a : z′=−2ei4π . z′z=−2ei4π2e−i6π z′z=−22×ei4πe−i6π
Soient r, r′, θ et θ′ quatre réels avec r′=0, on a alors :
r′eiθ′reiθ=r′r×ei(θ−θ′)
z′z=−22×ei(−6π−4π) z′z=−22×2×ei(−122π−123π) z′z=−2×ei(−125π) Ainsi :