Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2021 - Exercice 1

Dans un premier temps, nous allons donner la forme algébrique de $$z_{A}$$ .
$$z_A=3e^{-i\frac{\pi }{3}}$$
$$z_A=3\left({\mathrm{cos} \left(-\frac{\pi }{3}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(-\frac{\pi }{3}\right)\ }\right)$$
$$z_A=3\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Ainsi :
Si les points $$O$$, $$A$$ et $$B$$ sont alignés alors les vecteurs $$\overrightarrow{OA}$$ et $$\overrightarrow{OB}$$ doivent être colinéaires.
Autrement dit, il existe un réel $$k$$ vérifiant la relation vectorielle $$\overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OB}$$ .
Nous avons : $$z_{A}=3e^{-i\frac{\pi }{3}}$$ ; $$z_{B}=-1+i\sqrt{3}$$ et $$z_{O}=0$$ car $$O$$ est l'origine du repère.
D'une part :
$$z_{\overrightarrow{OA} }=z_{A}-z_{O}$$
$$z_{\overrightarrow{OA} }=3\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-0$$
Ainsi :
D'autre part :
$$z_{\overrightarrow{OB} }=z_{B}-z_{O}$$
$$z_{\overrightarrow{OB} }=-1+i\sqrt{3}-0$$
Ainsi :
Nous allons transformer l'expression de $$z_{\overrightarrow{OA} }$$.
Soit : $$z_{\overrightarrow{OA} }=3\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
On remarque que :
$$z_{\overrightarrow{OA} }=3\left(\frac{1}{2}-i\times \frac{1}{2}\times \sqrt{3}\right)$$ . Nous allons maintenant factoriser par $$\frac{1}{2}$$ .
$$z_{\overrightarrow{OA} }=3\times \frac{1}{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)$$
$$z_{\overrightarrow{OA} }=\frac{3}{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)$$ . Nous allons factoriser par $$-1$$ . Ce qui nous donne.
$$z_{\overrightarrow{OA} }=-\frac{3}{2}\left(-1+i\sqrt{3}\right)$$
Enfin :
Il en résulte donc que les vecteurs $$\overrightarrow{OA}$$ et $$\overrightarrow{OB}$$ sont bien colinéaires.
Finalement, les points $$O$$, $$A$$ et $$B$$ sont alignés .