Baccalauréat STI2D Métropole 8 septembre 2026 - Exercice 1

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Pour cette question, aucune justification n'est attendue.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O;u⃗,v⃗)\left(O;\vec{u},\vec{v}\right) représenté ci-dessous.
Les cercles tracés ont pour centre OO, origine du repère, et pour rayons respectifs 11 et 44.
Le point AA d'abscisse 22 appartient au cercle de centre OO et de rayon 44.
Les points BB, CC, DD, EE, FF, GG et HH appartiennent également au cercle de centre OO et de rayon 44.
On note zAz_{A} l'affixe du point AA.
Question 1

Donner le module du nombre complexe zAz_{A}.

Correction
Le module de zAz_{A} est la distance OAOA. Le point AA appartient au cercle de centre OO et de rayon 44, donc :
∣zA∣=4\left|z_{A}\right|=4
Question 2

Déterminer graphiquement un argument du nombre complexe zAz_{A}.

Correction
Un argument θ\theta de zAz_{A} est une mesure de l'angle (u⃗;OA→)\left(\vec{u};\overrightarrow{OA}\right).
Le point AA a pour abscisse 22 et OA=4OA=4, donc cos⁡(θ)=24=12\cos\left(\theta\right)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} ; de plus, AA est situé sous l'axe des abscisses, donc sin⁡(θ)<0\sin\left(\theta\right)\lt 0.
On en déduit :
θ=−π3\theta=-\dfrac{\pi}{3}
Question 3

En déduire une forme exponentielle du nombre complexe zAz_{A}.

Correction
    Forme exponentielle\text{\purple{Forme exponentielle}}
  • Tout nombre complexe zz non nul s'écrit z=reiθz=re^{i\theta}, où r=∣z∣r=\left|z\right| est son module et θ\theta un de ses arguments.
  • Si MM est le point d'affixe zz, alors ∣z∣=OM\left|z\right|=OM et θ\theta est une mesure de l'angle (u⃗;OM→)\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right).
Avec ∣zA∣=4\left|z_{A}\right|=4 et θ=−π3\theta=-\dfrac{\pi}{3} :
zA=4e−iπ3z_{A}=4e^{-i\frac{\pi}{3}}
Sous forme algébrique : zA=4(12−i32)=2−2i3z_{A}=4\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2-2i\sqrt{3}.
Question 4

À l'aide de la représentation graphique ci-dessus, donner le point image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle 3π2\dfrac{3\pi}{2}.

Correction
La rotation de centre OO conserve la distance à OO : l'image de AA est sur le cercle de rayon 44.
Son argument est −π3+3π2=−2π6+9π6=7π6-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{2}=-\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}, c'est-à-dire −5π6-\dfrac{5\pi}{6} à 2π2\pi près.
Tourner de 3π2\dfrac{3\pi}{2} dans le sens direct revient à tourner d'un quart de tour dans le sens indirect, car 3π2=2π−π2\dfrac{3\pi}{2}=2\pi-\dfrac{\pi}{2}.
Le point image de AA est donc :
GG

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