Baccalauréat STI2D Métropole 16 juin 2026 - Exercice 1

10 min
25
On note ii le nombre complexe de module 11 et d'argument π2\dfrac{\pi}{2}.
On considère le nombre complexe z=−23+2iz=-2\sqrt{3}+2i.
Question 1

Écrire le nombre complexe zz sous forme exponentielle en détaillant les étapes de calcul.
On pourra s'aider du demi-cercle trigonométrique ci-dessous pour répondre à cette question.

Correction
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du module de zz
    Module\text{\purple{Module}}
  • Si z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont des réels, on appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
∣z∣=(−23)2+22\left|z\right|=\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}+2^{2}}
∣z∣=4×3+4\left|z\right|=\sqrt{4\times 3+4}
∣z∣=16\left|z\right|=\sqrt{16}
∣z∣=4\left|z\right|=4
Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul d'un argument de zz
    Argument\text{\purple{Argument}}
  • Un argument θ\theta du nombre complexe non nul z=x+iyz=x+iy vérifie : cos⁡(θ)=x∣z∣\cos\left(\theta\right)=\dfrac{x}{\left|z\right|} et sin⁡(θ)=y∣z∣\sin\left(\theta\right)=\dfrac{y}{\left|z\right|}.
cos⁡(θ)=−234=−32\cos\left(\theta\right)=\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(θ)=24=12\sin\left(\theta\right)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
Sur le demi-cercle trigonométrique, le point d'abscisse −32-\dfrac{\sqrt{3}}{2} et d'ordonnée 12\dfrac{1}{2} correspond à l'angle 5π6\dfrac{5\pi}{6}.
Donc θ=5π6\theta=\dfrac{5\pi}{6}.
Troisieˋme eˊtape :\red{\text{Troisième étape :}} Écriture sous forme exponentielle
Finalement :
z=4ei5π6z=4e^{i\frac{5\pi}{6}}

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.