Nombres complexes

Baccalauréat STI2D Centres étrangers 13 mars 2023 - Exercice 1

20 min
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On considère les nombres complexes z1=6eiπ4z_1=6e^{i\frac{\pi }{4}} et z2=−3+iz_2=-\sqrt{3}+i , où ii désigne le nombre complexe de module 11 et d’argument π2\frac{\pi}{2}.
Question 1

Écrire z2z_2 sous forme exponentielle .

Correction
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du module de z2z_{2}
    zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • ∣z2∣=(−3)2+12=2\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(-\sqrt{3} \right)^{2} +1^{2} } =2
    Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul d'un argument de z2z_{2}
    Pour l'argument θ\theta on sait que {cos⁡(θ)=partie reˊelle de z2module de z2sin⁡(θ)=partie imaginaire de z2module de z2\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{2}}{\text{module de } z_{2}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{2}}{\text{module de } z_{2} } } \end{array}\right.
    On a donc {cos⁡(θ)=−32sin⁡(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
    θ=5π6[2π]\theta =\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]
    [2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi
    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    Il en résulte donc que l'écriture exponentielle de z2z_{2} est alors :
    z2=2ei5π6z_{2}=2e^{i\frac{5\pi }{6} }

    Question 2

    En déduire une écriture du nombre complexe Z=z1z23Z=\frac{z_1}{z^3_2} .

    Correction
    Z=z1z23Z=\frac{z_1}{z^3_2} équivaut successivement à :
    Z=6eiπ4(2ei5π6)3Z=\frac{6e^{i\frac{\pi }{4}}}{{\left(2e^{i\frac{5\pi }{6}}\right)}^3}
    Z=6eiπ423(ei5π6)3Z=\frac{6e^{i\frac{\pi }{4}}}{2^3{\left(e^{i\frac{5\pi }{6}}\right)}^3}
    Z=6eiπ48ei5π6×3Z=\frac{6e^{i\frac{\pi }{4}}}{8e^{i\frac{5\pi }{6}\times 3}}
    Z=6eiπ48ei5π2Z=\frac{6e^{i\frac{\pi }{4}}}{8e^{i\frac{5\pi }{2}}}
    Soient r\red{r}, r′{\color{blue}{r'}}, θ\green{\theta } et θ′\pink{\theta'} quatre réels avec r′≠0{\color{blue}{r'\ne0}}, on a alors :
  • reiθr′eiθ′=rr′×ei(θ−θ′)\frac{\red{r}e^{i\green{\theta }} } {{\color{blue}{r'}}e^{i\pink{\theta '}}} =\frac{\red{r}}{{\color{blue}{r'}}}\times e^{i\left(\green{\theta} -\pink{\theta '}\right)}
    • Z=68×ei(π4−5π2)Z=\frac{6}{8}\times e^{i\left(\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{2}\right)}
    Z=34×ei(π4−10π4)Z=\frac{3}{4}\times e^{i\left(\frac{\pi }{4}-\frac{10\pi }{4}\right)}
    Z=34e−i9π4Z=\frac{3}{4}e^{-i\frac{9\pi }{4}}
    Or e−i9π4=ei(−9π4+2π)=e−iπ4e^{-i\frac{9\pi }{4}}=e^{i\left(-\frac{9\pi }{4}+2\pi \right)}=e^{-i\frac{\pi }{4}}
    Ainsi :
    Z=34e−iπ4Z=\frac{3}{4}e^{-i\frac{\pi }{4}}