Baccalauréat STI2D Antilles–Guyane 16 juin 2026 - Exercice 1

10 min
25
Le cercle CC de centre OO et de rayon 22 est représenté ci-dessous, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;u⃗,v⃗)\left(O;\vec{u},\vec{v}\right).
Le point AA d'abscisse 11 appartient au cercle CC ; on note zAz_{A} l'affixe du point AA.
Question 1

Donner la forme exponentielle de zAz_{A}. Aucune justification n'est attendue.

Correction
Aucune justification n'est attendue ; voici tout de même comment trouver la réponse.
    Forme exponentielle\text{\purple{Forme exponentielle}}
  • Tout nombre complexe zz non nul s'écrit z=reiθz=re^{i\theta}, où r=∣z∣r=\left|z\right| est son module et θ\theta un de ses arguments.
  • Si MM est le point d'affixe zz, alors ∣z∣=OM\left|z\right|=OM et θ\theta est une mesure de l'angle (u⃗;OM→)\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right).
Module :\red{\text{Module :}} le point AA est sur le cercle CC de centre OO et de rayon 22, donc ∣zA∣=OA=2\left|z_{A}\right|=OA=2.
Argument :\red{\text{Argument :}} un argument θ\theta de zAz_{A} vérifie cos⁡(θ)=12\cos\left(\theta\right)=\dfrac{1}{2}, car l'abscisse de AA vaut 11 et OA=2OA=2. De plus, le point AA est situé sous l'axe des abscisses, donc sin⁡(θ)<0\sin\left(\theta\right)\lt 0.
On en déduit θ=−π3\theta=-\dfrac{\pi}{3} : en effet, cos⁡(−π3)=12\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} et sin⁡(−π3)=−32\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Finalement :
zA=2e−iπ3z_{A}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}
Sous forme algébrique : zA=1−i3z_{A}=1-i\sqrt{3}.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.