Variations de fonctions quotients avec des exponentielles - Exercice 1

10 min

Soit

f

la fonction définie sur

\left]0;+\infty\right[

par

f\left(x\right)=\dfrac{e^{x}}{x}

Question 1

Montrer que, pour tout réel $x>0$ , $f'\left(x\right)=\dfrac{e^{x}\left(x-1\right)}{x^{2}}$ .

Correction

\text{\purple{Dérivée du quotient}}

On considère deux fonctions $u$ et $v$ , dérivables sur un intervalle $I$ , $v$ ne s'annulant pas sur $I$ ; alors $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .

On pose

u\left(x\right)=e^{x}

v\left(x\right)=x

, donc

u'\left(x\right)=e^{x}

v'\left(x\right)=1

f'\left(x\right)=\dfrac{e^{x}\times x-e^{x}\times1}{x^{2}}

f'\left(x\right)=\dfrac{e^{x}\left(x-1\right)}{x^{2}}

Question 2

Correction

\text{\purple{Croissances comparées}}

Pour tout entier naturel $n$ non nul : $\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty } x^{n}e^{-x}=0$ .
Plus généralement, pour tout réel $k>0$ : $\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{kx}}{x^{n}}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty } x^{n}e^{-kx}=0$ .
En $+\infty$ , ${\color{blue}{\text{l'exponentielle l'emporte sur les puissances de x}}}$ .

Ici

n=1

\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{x}}{x}=+\infty

Question 3

Correction

\text{\purple{Dérivée et sens de variation}}

Si $f'$ est positive sur un intervalle $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'$ est négative sur un intervalle $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Une exponentielle est strictement positive : le signe de $e^{u}\times v$ est celui de $v$ .

Sur

\left]0;+\infty\right[

e^{x}>0

x^{2}>0

f'\left(x\right)

a le signe de

x-1

f\left(1\right)=\dfrac{e^{1}}{1}=e

Question 4

Correction

Le minimum de

f

sur

\left]0;+\infty\right[

est

e

, donc pour tout

x>0

\dfrac{e^{x}}{x}\geqslant e

.
En multipliant par

x>0

, le sens de l'inégalité ne change pas :

e^{x}\geqslant ex

On retrouve que la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente

y=ex

au point d'abscisse

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