Fonction exponentielle de base $e$

Savoir résoudre les inéquations de la forme eaebe^{a} \ge e^{b} ou eaebe^{a} \le e^{b} - Exercice 1

8 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :
Question 1

exe4e^{x} \ge e^{4}

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eAeBABe^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eBA>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
exe4e^{x} \ge e^{4} équivaut successivement à :
D'où
x4x \ge 4

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=[4;+[S=\left[4 ;+\infty \right[

Question 2

e2x1e^{2x} \ge1

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eAeBABe^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eBA>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
e2x1e^{2x} \ge1 équivaut successivement à :
e2xe0e^{2x} \ge e^{0}
2x02x\ge 0
x02x\ge \frac{0}{2}
D'où
x0x\ge 0

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=[0;+[S=\left[0 ;+\infty \right[

Question 3

exe6e^{x} \le e^{6}

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eAeBABe^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eBA<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
exe6e^{x} \le e^{6} équivaut successivement à :
D'où
x6x \le 6

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=];6]S=\left]-\infty;6 \right]
Question 4

e3x<1e^{3x} < 1

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eAeBABe^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eBA<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e3x<1e^{3x} < 1 équivaut successivement à :
e3x<e0e^{3x} < e^{0}
3x<03x< 0
x<03x< \frac{0}{3}
D'où
x<0x< 0

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=];0[S=\left]-\infty ;0\right[