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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir résoudre des équations de la forme
e
x
=
a
e^x=a
e
x
=
a
- Exercice 1
15 min
30
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les équations suivantes :
Question 1
3
e
x
+
2
=
8
3e^x+2=8
3
e
x
+
2
=
8
Correction
3
e
x
+
2
=
8
3e^x+2=8
3
e
x
+
2
=
8
équivaut successivement à :
3
e
x
=
8
−
2
3e^x=8-2
3
e
x
=
8
−
2
3
e
x
=
6
3e^x=6
3
e
x
=
6
e
x
=
6
3
e^x=\frac{6}{3}
e
x
=
3
6
e
x
=
2
e^x=2
e
x
=
2
. On compose par la fonction logarithme népérien de part et d'autre du signe
=
=
=
.
Soit
a
a
a
un réel strictement positif
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
ln
(
e
x
)
=
ln
(
2
)
\ln\left(e^x\right)=\ln\left(2\right)
ln
(
e
x
)
=
ln
(
2
)
Ainsi :
x
=
ln
(
2
)
x=\ln\left(2\right)
x
=
ln
(
2
)
Question 2
7
e
x
−
1
=
5
e
x
+
9
7e^x-1=5e^x+9
7
e
x
−
1
=
5
e
x
+
9
Correction
7
e
x
−
1
=
5
e
x
+
9
7e^x-1=5e^x+9
7
e
x
−
1
=
5
e
x
+
9
équivaut successivement à :
7
e
x
−
5
e
x
=
9
+
1
7e^x-5e^x=9+1
7
e
x
−
5
e
x
=
9
+
1
2
e
x
=
10
2e^x=10
2
e
x
=
10
e
x
=
5
e^x=5
e
x
=
5
. On compose par la fonction logarithme népérien de part et d'autre du signe
=
=
=
.
Soit
a
a
a
un réel strictement positif
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
ln
(
e
x
)
=
ln
(
5
)
\ln\left(e^x\right)=\ln\left(5\right)
ln
(
e
x
)
=
ln
(
5
)
Ainsi :
x
=
ln
(
5
)
x=\ln\left(5\right)
x
=
ln
(
5
)
Question 3
e
−
2
t
=
5
e^{-2t}=5
e
−
2
t
=
5
Correction
Soit
a
a
a
un réel strictement positif
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
e
−
2
t
=
5
e^{-2t}=5
e
−
2
t
=
5
équivaut successivement à :
ln
(
e
−
2
t
)
=
ln
(
5
)
\ln\left(e^{-2t}\right)=\ln\left(5\right)
ln
(
e
−
2
t
)
=
ln
(
5
)
−
2
t
=
ln
(
5
)
-2t=\ln\left(5\right)
−
2
t
=
ln
(
5
)
t
=
ln
(
5
)
−
2
t=\frac{\ln\left(5\right)}{-2}
t
=
−
2
ln
(
5
)
Ainsi :
t
=
−
1
2
ln
(
5
)
t=-\frac{1}{2}\ln\left(5\right)
t
=
−
2
1
ln
(
5
)
Question 4
5
e
−
0
,
02
t
−
3
=
0
5e^{-0,02t}-3=0
5
e
−
0
,
02
t
−
3
=
0
Correction
5
e
−
0
,
02
t
−
3
=
0
5e^{-0,02t}-3=0
5
e
−
0
,
02
t
−
3
=
0
équivaut successivement à :
5
e
−
0
,
02
t
=
3
5e^{-0,02t}=3
5
e
−
0
,
02
t
=
3
e
−
0
,
02
t
=
3
5
e^{-0,02t}=\frac{3}{5}
e
−
0
,
02
t
=
5
3
Soit
a
a
a
un réel strictement positif
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
e
x
=
a
⟺
ln
(
e
x
)
=
ln
(
a
)
⟺
x
=
ln
(
a
)
ln
(
e
−
0
,
02
t
)
=
ln
(
3
5
)
\ln\left(e^{-0,02t}\right)=\ln\left(\frac{3}{5}\right)
ln
(
e
−
0
,
02
t
)
=
ln
(
5
3
)
−
0
,
02
t
=
ln
(
3
5
)
-0,02t=\ln\left(\frac{3}{5}\right)
−
0
,
02
t
=
ln
(
5
3
)
t
=
ln
(
3
5
)
−
0
,
02
t=\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{-0,02}
t
=
−
0
,
02
ln
(
5
3
)
Ainsi :
t
=
−
ln
(
3
5
)
0
,
02
t=-\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{0,02}
t
=
−
0
,
02
ln
(
5
3
)