🔴  Lives #BAC2024

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Fonction exponentielle de base $e$

Savoir résoudre des équations de la forme ex=ae^x=a - Exercice 1

15 min
30
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

3ex+2=83e^x+2=8

Correction
3ex+2=83e^x+2=8 équivaut successivement à :
3ex=823e^x=8-2
3ex=63e^x=6
ex=63e^x=\frac{6}{3}
ex=2e^x=2 . On compose par la fonction logarithme népérien de part et d'autre du signe == .
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=aln(ex)=ln(a)x=ln(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
ln(ex)=ln(2)\ln\left(e^x\right)=\ln\left(2\right)
Ainsi :
x=ln(2)x=\ln\left(2\right)

Question 2

7ex1=5ex+97e^x-1=5e^x+9

Correction
7ex1=5ex+97e^x-1=5e^x+9 équivaut successivement à :
7ex5ex=9+17e^x-5e^x=9+1
2ex=102e^x=10
ex=5e^x=5 . On compose par la fonction logarithme népérien de part et d'autre du signe == .
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=aln(ex)=ln(a)x=ln(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
ln(ex)=ln(5)\ln\left(e^x\right)=\ln\left(5\right)
Ainsi :
x=ln(5)x=\ln\left(5\right)

Question 3

e2t=5e^{-2t}=5

Correction
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=aln(ex)=ln(a)x=ln(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
e2t=5e^{-2t}=5 équivaut successivement à :
ln(e2t)=ln(5)\ln\left(e^{-2t}\right)=\ln\left(5\right)
2t=ln(5)-2t=\ln\left(5\right)
t=ln(5)2t=\frac{\ln\left(5\right)}{-2}
Ainsi :
t=12ln(5)t=-\frac{1}{2}\ln\left(5\right)

Question 4

5e0,02t3=05e^{-0,02t}-3=0

Correction
5e0,02t3=05e^{-0,02t}-3=0 équivaut successivement à :
5e0,02t=35e^{-0,02t}=3
e0,02t=35e^{-0,02t}=\frac{3}{5}
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=aln(ex)=ln(a)x=ln(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
ln(e0,02t)=ln(35)\ln\left(e^{-0,02t}\right)=\ln\left(\frac{3}{5}\right)
0,02t=ln(35)-0,02t=\ln\left(\frac{3}{5}\right)
t=ln(35)0,02t=\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{-0,02}
Ainsi :
t=ln(35)0,02t=-\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{0,02}