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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir déterminer les limites de la forme
lim
x
→
+
∞
x
n
e
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{x}
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
et de la forme
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} }
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
- Exercice 2
15 min
30
Déterminer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
e
x
x
5
+
5
x
−
10
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5} }+5x-10
x
→
+
∞
lim
x
5
e
x
+
5
x
−
10
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
1. Calculons dans un premier temps la limite de
e
x
x
5
{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{5}}}}
x
5
e
x
Ici, nous avons
n
=
5
,
(
n
>
0
)
n=5,\;(n>0)
n
=
5
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
5
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5}} =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
5
e
x
=
+
∞
2. Calculons dans un second temps la limite de
5
x
−
10
{\color{blue}{5x-10}}
5
x
−
10
lim
x
→
+
∞
5
x
−
10
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 5x-10 =+\infty
x
→
+
∞
lim
5
x
−
10
=
+
∞
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
5
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
5
x
−
10
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x-10} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
5
e
x
x
→
+
∞
lim
5
x
−
10
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
x
x
5
+
5
x
−
10
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5} }+5x-10=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
5
e
x
+
5
x
−
10
=
+
∞
Question 2
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
−
1
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }-\frac{1}{x}
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
−
x
1
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
1. Calculons dans un premier temps la limite de
e
x
x
3
{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{3}}}}
x
3
e
x
Ici, nous avons
n
=
3
,
(
n
>
0
)
n=3,\;(n>0)
n
=
3
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}} =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
=
+
∞
2. Calculons dans un second temps la limite de
(
−
1
x
)
{\color{blue}{\left(-\frac{1}{x}\right)}}
(
−
x
1
)
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
lim
x
→
+
∞
−
1
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{x} =0
x
→
+
∞
lim
−
x
1
=
0
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
−
1
x
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
x
→
+
∞
lim
−
x
1
=
=
+
∞
0
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
−
1
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }-\frac{1}{x}=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
−
x
1
=
+
∞
Question 3
lim
x
→
+
∞
−
5
e
x
x
2
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{-5e^{x} }{x^{2} }
x
→
+
∞
lim
x
2
−
5
e
x
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
−
5
e
x
x
2
=
−
5
×
e
x
x
2
\frac{-5e^{x} }{x^{2}}=-5\times{\frac{e^{x} }{x^{2}}}
x
2
−
5
e
x
=
−
5
×
x
2
e
x
1. Calculons dans un premier temps la limite de
e
x
x
2
{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{2}}}}
x
2
e
x
Ici, nous avons
n
=
2
,
(
n
>
0
)
n=2,\;(n>0)
n
=
2
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
2
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2}} =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
2
e
x
=
+
∞
2. Calculons dans un second temps la limite de
−
5
{\color{blue}{-5}}
−
5
lim
x
→
+
∞
−
5
=
−
5
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -5 =-5
x
→
+
∞
lim
−
5
=
−
5
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
2
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
−
5
=
−
5
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
2
e
x
x
→
+
∞
lim
−
5
=
=
+
∞
−
5
}
par produit
\text{\red{par produit}}
par produit
lim
x
→
+
∞
−
5
×
e
x
x
2
=
−
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -5\times\frac{e^{x} }{x^{2} }=-\infty
x
→
+
∞
lim
−
5
×
x
2
e
x
=
−
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
−
2
x
3
e
−
x
−
8
x
+
1
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2x^{3} e^{-x}-8x+1
x
→
+
∞
lim
−
2
x
3
e
−
x
−
8
x
+
1
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
1. Calculons dans un premier temps la limite de
x
3
e
−
x
{\color{blue}{x^{3} e^{-x}}}
x
3
e
−
x
Ici, nous avons
n
=
3
,
(
n
>
0
)
n=3,\;(n>0)
n
=
3
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
x
3
e
−
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^3e^{-x}
x
→
+
∞
lim
x
3
e
−
x
=
0
=0
=
0
2. Calculons dans un second temps la limite de
−
2
{\color{blue}{-2}}
−
2
lim
x
→
+
∞
−
2
=
−
2
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2 =-2
x
→
+
∞
lim
−
2
=
−
2
On a donc :
lim
x
→
+
∞
x
3
e
−
x
=
0
lim
x
→
+
∞
−
2
=
−
2
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^3e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -2} & {=} & {-2} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
3
e
−
x
x
→
+
∞
lim
−
2
=
=
0
−
2
}
par produit
\text{\red{par produit}}
par produit
lim
x
→
+
∞
−
2
x
3
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2x^3e^{-x}=0
x
→
+
∞
lim
−
2
x
3
e
−
x
=
0
3. Calculons dans un troisième temps la limite de
−
8
x
+
1
{\color{blue}{-8x+1}}
−
8
x
+
1
lim
x
→
+
∞
−
8
x
+
1
=
−
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -8x+1 =-\infty
x
→
+
∞
lim
−
8
x
+
1
=
−
∞
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
−
2
x
3
e
−
x
=
0
lim
x
→
+
∞
−
8
x
+
1
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x^3e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -8x+1} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
−
2
x
3
e
−
x
x
→
+
∞
lim
−
8
x
+
1
=
=
0
−
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
−
2
x
3
e
−
x
−
8
x
+
1
=
−
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2x^3e^{-x}-8x+1=-\infty
x
→
+
∞
lim
−
2
x
3
e
−
x
−
8
x
+
1
=
−
∞