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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir déterminer les limites de la forme
lim
x
→
+
∞
x
n
e
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{x}
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
et de la forme
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} }
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
- Exercice 1
15 min
30
Déterminer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
e
x
x
2
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2} }
x
→
+
∞
lim
x
2
e
x
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
Ici, nous avons
n
=
2
n=2
n
=
2
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
2
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
2
e
x
=
+
∞
Question 2
lim
x
→
+
∞
x
3
e
−
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{3} e^{-x}
x
→
+
∞
lim
x
3
e
−
x
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
Ici, nous avons
n
=
3
n=3
n
=
3
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
x
3
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{3} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
3
e
−
x
=
0
Question 3
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
+
2
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }+2x
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
+
2
x
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
1. Calculons dans un premier temps la limite de
e
x
x
3
{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{3}}}}
x
3
e
x
Ici, nous avons
n
=
3
,
(
n
>
0
)
n=3,\;(n>0)
n
=
3
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}} =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
=
+
∞
2. Calculons dans un second temps la limite de
2
x
{\color{blue}{2x}}
2
x
lim
x
→
+
∞
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x =+\infty
x
→
+
∞
lim
2
x
=
+
∞
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
2
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
x
→
+
∞
lim
2
x
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
x
x
3
+
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }+2x=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
3
e
x
+
2
x
=
+
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
e
x
x
6
−
7
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6} }-7
x
→
+
∞
lim
x
6
e
x
−
7
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
1. Calculons dans un premier temps la limite de
e
x
x
6
{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{6}}}}
x
6
e
x
Ici, nous avons
n
=
6
,
(
n
>
0
)
n=6,\;(n>0)
n
=
6
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
6
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6}} =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
6
e
x
=
+
∞
2. Calculons dans un second temps la limite de
−
7
{\color{blue}{-7}}
−
7
lim
x
→
+
∞
−
7
=
−
7
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -7 =-7
x
→
+
∞
lim
−
7
=
−
7
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
6
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
−
7
=
−
7
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -7} & {=} & {-7} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
6
e
x
x
→
+
∞
lim
−
7
=
=
+
∞
−
7
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
x
x
6
−
7
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6} }-7=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
6
e
x
−
7
=
+
∞
Question 5
lim
x
→
+
∞
x
2
e
−
x
+
7
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2} e^{-x}+7x
x
→
+
∞
lim
x
2
e
−
x
+
7
x
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
n
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
n
e
−
x
=
0
1. Calculons dans un premier temps la limite de
x
2
e
−
x
{\color{blue}{x^{2} e^{-x}}}
x
2
e
−
x
Ici, nous avons
n
=
2
,
(
n
>
0
)
n=2,\;(n>0)
n
=
2
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
x
2
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2} e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
x
2
e
−
x
=
0
2. Calculons dans un second temps la limite de
7
x
{\color{blue}{7x}}
7
x
lim
x
→
+
∞
7
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 7x =+\infty
x
→
+
∞
lim
7
x
=
+
∞
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
x
2
e
−
x
=
0
lim
x
→
+
∞
7
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^2e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 7x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
2
e
−
x
x
→
+
∞
lim
7
x
=
=
0
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
x
2
e
−
x
+
7
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^2e^{-x}+7x=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
2
e
−
x
+
7
x
=
+
∞