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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir déterminer les limites de la forme
lim
x
→
+
∞
e
k
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx}
x
→
+
∞
lim
e
k
x
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx}
x
→
−
∞
lim
e
k
x
- Exercice 2
6 min
20
Déterminer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
e
−
x
+
8
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-x}+8x
x
→
+
∞
lim
e
−
x
+
8
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
e
−
x
e^{-x}
e
−
x
Ici, nous avons
k
=
−
1
,
(
k
<
0
)
k=-1,\;(k<0)
k
=
−
1
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
−
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-x} =0
x
→
+
∞
lim
e
−
x
=
0
Calculons dans un premier temps la limite de
8
x
8x
8
x
lim
x
→
+
∞
8
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 8x =+\infty
x
→
+
∞
lim
8
x
=
+
∞
On peut donc conclure que :
lim
x
→
+
∞
e
−
x
=
0
lim
x
→
+
∞
8
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 8x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
e
−
x
x
→
+
∞
lim
8
x
=
=
0
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
−
x
+
8
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-x} +8x=+\infty
x
→
+
∞
lim
e
−
x
+
8
x
=
+
∞
Question 2
lim
x
→
−
∞
e
−
3
x
−
2
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-3x}-2x
x
→
−
∞
lim
e
−
3
x
−
2
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
e
−
3
x
e^{-3x}
e
−
3
x
Ici, nous avons
k
=
−
3
,
(
k
<
0
)
k=-3,\;(k<0)
k
=
−
3
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
−
∞
e
−
3
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-3x} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
−
3
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
−
2
x
-2x
−
2
x
lim
x
→
−
∞
−
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } -2x =+\infty
x
→
−
∞
lim
−
2
x
=
+
∞
On peut donc conclure que :
lim
x
→
−
∞
e
−
3
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
−
2
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-3x}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
e
−
3
x
x
→
−
∞
lim
−
2
x
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
−
∞
e
−
3
x
−
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-3x} -2x=+\infty
x
→
−
∞
lim
e
−
3
x
−
2
x
=
+
∞