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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir déterminer les limites de la forme
lim
x
→
+
∞
e
k
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx}
x
→
+
∞
lim
e
k
x
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx}
x
→
−
∞
lim
e
k
x
- Exercice 1
10 min
25
Déterminer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
e
2
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{2x}
x
→
+
∞
lim
e
2
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Ici, nous avons
k
=
2
k=2
k
=
2
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{2x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
2
x
=
+
∞
Question 2
lim
x
→
+
∞
e
−
5
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-5x}
x
→
+
∞
lim
e
−
5
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Ici, nous avons
k
=
−
5
,
(
k
<
0
)
k=-5,\;(k<0)
k
=
−
5
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
−
5
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-5x} =0
x
→
+
∞
lim
e
−
5
x
=
0
Question 3
lim
x
→
−
∞
e
−
2
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-2x}
x
→
−
∞
lim
e
−
2
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Ici, nous avons
k
=
−
2
,
(
k
<
0
)
k=-2,\;(k<0)
k
=
−
2
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
−
∞
e
−
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-2x} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
−
2
x
=
+
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Ici, nous avons
k
=
−
6
,
(
k
<
0
)
k=-6,\;(k<0)
k
=
−
6
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} =0
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
=
0
Question 5
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
+
2
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}+2x
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
+
2
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
e
−
6
x
e^{-6x}
e
−
6
x
Ici, nous avons
k
=
−
6
,
(
k
<
0
)
k=-6,\;(k<0)
k
=
−
6
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} =0
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
=
0
Calculons dans un premier temps la limite de
2
x
2x
2
x
lim
x
→
+
∞
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x =+\infty
x
→
+
∞
lim
2
x
=
+
∞
On peut donc conclure que :
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
=
0
lim
x
→
+
∞
2
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
x
→
+
∞
lim
2
x
=
=
0
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
+
2
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} +2x=+\infty
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
+
2
x
=
+
∞
Question 6
lim
x
→
−
∞
e
−
9
x
−
7
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-9x}-7x
x
→
−
∞
lim
e
−
9
x
−
7
x
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
e
−
9
x
e^{-9x}
e
−
9
x
Ici, nous avons
k
=
−
9
,
(
k
<
0
)
k=-9,\;(k<0)
k
=
−
9
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
−
∞
e
−
9
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-9x} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
−
9
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
−
7
x
-7x
−
7
x
lim
x
→
−
∞
−
7
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } -7x =+\infty
x
→
−
∞
lim
−
7
x
=
+
∞
On peut donc conclure que :
lim
x
→
−
∞
e
−
9
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
−
7
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-9x}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -7x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
e
−
9
x
x
→
−
∞
lim
−
7
x
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
−
∞
e
−
9
x
−
7
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-9x} -7x=+\infty
x
→
−
∞
lim
e
−
9
x
−
7
x
=
+
∞
Question 7
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
+
2
x
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}+\frac{2}{x}
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
+
x
2
Correction
Soit
k
k
k
un réel strictement positif
(
k
>
0
)
\left(k>0\right)
(
k
>
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
0
Soit
k
k
k
un réel strictement négatif
(
k
<
0
)
\left(k<0\right)
(
k
<
0
)
alors
lim
x
→
+
∞
e
k
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0
x
→
+
∞
lim
e
k
x
=
0
et
lim
x
→
−
∞
e
k
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
x
→
−
∞
lim
e
k
x
=
+
∞
Calculons dans un premier temps la limite de
e
−
6
x
e^{-6x}
e
−
6
x
Ici, nous avons
k
=
−
6
,
(
k
<
0
)
k=-6,\;(k<0)
k
=
−
6
,
(
k
<
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} =0
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
=
0
Calculons dans un premier temps la limite de
2
x
\frac{2}{x}
x
2
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
lim
x
→
+
∞
2
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0
x
→
+
∞
lim
x
2
=
0
On peut donc conclure que :
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
=
0
lim
x
→
+
∞
2
x
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
x
→
+
∞
lim
x
2
=
=
0
0
}
par somme
\text{\red{par somme}}
par somme
lim
x
→
+
∞
e
−
6
x
+
2
x
=
0
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} +\frac{2}{x}=0
x
→
+
∞
lim
e
−
6
x
+
x
2
=
0