Résoudre des équations et des inéquations du type $e^{ax}=b$ et $e^{ax}>b$ - Exercice 1

10 min

Résoudre dans

\mathbb{R}

les équations suivantes.

Question 1

$e^{2x}=5$

Correction

\text{\purple{Exponentielle et logarithme}}

Pour tout réel $b>0$ : $e^{X}=b\Longleftrightarrow X=\ln\left(b\right)$ .
La fonction $\ln$ est strictement croissante : pour $b>0$ , $e^{X}>b\Longleftrightarrow X>\ln\left(b\right)$ et $e^{X}\lt b\Longleftrightarrow X\lt \ln\left(b\right)$ .
Si $b\leqslant 0$ : l'équation $e^{X}=b$ n'a pas de solution et l'inéquation $e^{X}>b$ est vraie pour tout réel $X$ , car $e^{X}>0$ .

e^{2x}=5

équivaut successivement à :

2x=\ln\left(5\right)

x=\dfrac{\ln\left(5\right)}{2}

soit

x\approx 0{,}80

Question 2

Correction

3e^{-x}-6=0

équivaut successivement à :

3e^{-x}=6

e^{-x}=2

-x=\ln\left(2\right)

x=-\ln\left(2\right)

soit

x\approx -0{,}69

Question 3

Correction

e^{0{,}1x}=3

équivaut successivement à :

0{,}1x=\ln\left(3\right)

x=10\ln\left(3\right)

soit

x\approx 10{,}99

Question 4

Correction

Pour tout réel

x

e^{x+1}>0

: il ne peut pas être égal à

-4

, qui est strictement négatif. L'équation n'a pas de solution :

S=\varnothing

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