Modèles exponentiels en physique-chimie - Exercice 1

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Lors de la charge d'un condensateur à travers une résistance, la tension à ses bornes, en volts, est donnée par u(t)=12(1−e−0,5t)u\left(t\right)=12\left(1-e^{-0{,}5t}\right), où t⩾0t\geqslant 0 est le temps en millisecondes.
Question 1

Calculer u(0)u\left(0\right), puis déterminer la limite de uu en +∞+\infty. Interpréter ce résultat.

Correction
u(0)=12(1−e0)=12×0=0u\left(0\right)=12\left(1-e^{0}\right)=12\times0=0 : au départ, le condensateur est déchargé.
    Limites de ekx\text{\purple{Limites de }}\purple{e^{kx}}
  • Si k>0k>0 : lim⁡x→+∞ekx=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{kx}=+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{kx}=0.
  • Si k<0k\lt 0 : lim⁡x→+∞ekx=0\lim\limits_{x\to +\infty } e^{kx}=0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } e^{kx}=+\infty.
lim⁡t→+∞e−0,5t=0\lim\limits_{t\to +\infty } e^{-0{,}5t}=0 car k=−0,5<0k=-0{,}5\lt 0. Donc :
lim⁡t→+∞(1−e−0,5t)=1\lim\limits_{t\to +\infty } \left(1-e^{-0{,}5t}\right)=1
Ainsi :
lim⁡t→+∞12(1−e−0,5t)=12\lim\limits_{t\to +\infty } 12\left(1-e^{-0{,}5t}\right)=12

La tension tend vers 1212 V : c'est le reˊgime permanent{\color{blue}{\text{régime permanent}}}, le condensateur est chargé.
Question 2

Calculer u′(t)u'\left(t\right), puis dresser le tableau de variations de uu.

Correction
u(t)=12−12e−0,5tu\left(t\right)=12-12e^{-0{,}5t}, donc u′(t)=−12×(−0,5e−0,5t)u'\left(t\right)=-12\times\left(-0{,}5e^{-0{,}5t}\right) :
u′(t)=6e−0,5tu'\left(t\right)=6e^{-0{,}5t}

Comme u′(t)>0u'\left(t\right)>0, uu est croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.
Question 3

Déterminer une équation de la tangente à la courbe de uu à l'origine. À quel instant coupe-t-elle la droite d'équation y=12y=12 ?

Correction
    Eˊquation d’une tangente\text{\purple{Équation d'une tangente}}
  • La tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
u(0)=0u\left(0\right)=0 et u′(0)=6e0=6u'\left(0\right)=6e^{0}=6, donc :
y=6ty=6t

6t=126t=12 équivaut à t=2t=2 : la tangente coupe la droite y=12y=12 à l'instant t=2t=2 ms.
    Constante de temps\text{\purple{Constante de temps}}
  • Pour u(t)=E(1−e−t/τ)u\left(t\right)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right) (charge) ou u(t)=E e−t/τu\left(t\right)=E\,e^{-t/\tau} (décharge), la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale à l'instant t=τt=\tau, la constante de temps{\color{blue}{\text{constante de temps}}}.
  • En pratique, on considère le régime permanent atteint au bout de 5τ5\tau.
On retrouve la constante de temps du circuit : τ=2\tau=2 ms.
Question 4

Calculer u(2)u\left(2\right), arrondi au centième. Quel pourcentage de la tension finale est atteint au bout d'une constante de temps ?

Correction
u(2)=12(1−e−1)≈7,59u\left(2\right)=12\left(1-e^{-1}\right)\approx 7{,}59 V et 7,5912≈0,63\dfrac{7{,}59}{12}\approx 0{,}63 :
au bout de τ, la tension atteint environ 63 % de sa valeur finale\text{au bout de } \tau\text{, la tension atteint environ } 63\,\%\text{ de sa valeur finale}
Question 5

Résoudre l'inéquation u(t)⩾0,99×12u\left(t\right)\geqslant 0{,}99\times12. Vérifier qu'au bout de 5τ5\tau le condensateur est chargé à plus de 9999 %.

Correction
12(1−e−0,5t)⩾0,99×1212\left(1-e^{-0{,}5t}\right)\geqslant 0{,}99\times12 équivaut successivement à :
1−e−0,5t⩾0,991-e^{-0{,}5t}\geqslant 0{,}99
e−0,5t⩽0,01e^{-0{,}5t}\leqslant 0{,}01
−0,5t⩽ln⁡(0,01)-0{,}5t\leqslant \ln\left(0{,}01\right)
On divise par −0,5<0-0{,}5\lt 0 : le sens change.
t⩾−2ln⁡(0,01)≈9,21t\geqslant -2\ln\left(0{,}01\right)\approx 9{,}21

Or 5τ=105\tau=10 ms ⩾9,21\geqslant 9{,}21 ms : au bout de 5τ5\tau, le condensateur est chargé à plus de 9999 %.

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