Fonction exponentielle de base $e$

Limites utilisant la forme exe^x - Exercice 2

15 min
30
Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞(ex+1)(ex+2)\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \left(e^{x} +1\right)\left(e^{x} +2\right)

Correction
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0

Calculons dans un premier temps la limite de ex+1e^{x}+1
lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→−∞ex+1=1\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}+1=1

Calculons dans un second temps la limite de ex+2e^{x}+2
lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2} & {=} & {2} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→−∞ex+2=2\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}+2=2

Ainsi :
lim⁡x→−∞ex+1=1lim⁡x→−∞ex+2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+2} & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→−∞(ex+1)(ex+2)=2\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \left(e^{x} +1\right)\left(e^{x} +2\right)=2
Question 2

lim⁡x→+∞(2ex−1)(ex−5)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(2e^{x} -1\right)\left(e^{x} -5\right)

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
Calculons dans un premier temps la limite de 2ex−12e^{x}-1
lim⁡x→+∞2ex=+∞lim⁡x→+∞−1=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1} & {=} & {-1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞2ex−1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty }2e^{x}-1=+\infty

Calculons dans un second temps la limite de ex−5e^{x}-5
lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→+∞−5=−5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→−∞ex−5=+∞\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}-5=+\infty

Ainsi :
lim⁡x→+∞2ex−1=+∞lim⁡x→+∞ex−5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x}-1} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}-5} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→+∞(2ex−1)(ex−5)=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(2e^{x} -1\right)\left(e^{x} -5\right)=+\infty
Question 3

lim⁡x→+∞4ex+1\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{e^{x} +1}

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Calculons dans un premier temps la limite de ex+1e^{x}+1
lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→+∞1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞ex+1=∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^x+1=\infty

Ainsi :
lim⁡x→+∞4=4lim⁡x→+∞ex+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4} & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}+1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡x→+∞4ex+1=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{e^{x}+1}=0

Question 4

lim⁡x→−∞ex+3ex+1\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{e^{x} +3}{e^{x} +1}

Correction
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
Calculons dans un premier temps la limite de ex+3e^{x}+3
lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞3=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→−∞ex+3=3\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}+3=3

Calculons dans un second temps la limite de ex+1e^{x}+1
lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→−∞ex+1=1\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}+1=1

On peut donc conclure :
lim⁡x→−∞ex+3=3lim⁡x→−∞ex+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x+3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡x→−∞ex+3ex+1=3\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{e^x+3}{e^{x} +1}=3