Fonction exponentielle de base $e$

Limites utilisant la forme exe^x - Exercice 1

15 min
30
Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞3ex\lim\limits_{x\to +\infty }3e^{x}

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞3=3lim⁡x→+∞ex=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→+∞3ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty }3e^{x}=+\infty

Question 2

lim⁡x→+∞−4ex\lim\limits_{x\to +\infty }-4e^{x}

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞−4=−4lim⁡x→+∞ex=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -4} & {=} & {-4 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→+∞−4ex=−∞\lim\limits_{x\to +\infty }-4e^{x}=-\infty
Question 3

lim⁡x→−∞−5ex\lim\limits_{x\to -\infty }-5e^{x}

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→−∞−5=−5lim⁡x→−∞ex=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→−∞−5ex=0\lim\limits_{x\to -\infty }-5e^{x}=0
Question 4

lim⁡x→+∞2ex+1\lim\limits_{x\to +\infty }2e^{x}+1

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
lim⁡x→+∞2ex=+∞lim⁡x→+∞1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞2ex+1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty }2e^{x}+1=+\infty
Question 5

lim⁡x→−∞7ex+x\lim\limits_{x\to -\infty }7e^{x}+x

Correction
  • lim⁡x→−∞x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } x =-\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→−∞x=−∞lim⁡x→−∞7ex=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x} & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 7e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→−∞7ex+x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty }7e^{x}+x=-\infty
Question 6

lim⁡x→+∞2e−x\lim\limits_{x\to +\infty }2e^{-x}

Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
  • e−a=1eae^{-a}=\frac{1}{e^a}
    • Il en résulte donc que :
    2e−x=2ex2e^{-x}=\frac{2}{e^x}
    Ainsi :
    lim⁡x→+∞2=2lim⁡x→+∞ex=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡x→+∞2ex=0\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2}{e^{x}}=0

    Question 7

    lim⁡x→+∞−3ex−5x\lim\limits_{x\to +\infty }-3e^{x}-5x

    Correction
    • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
    • lim⁡x→+∞−x=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x =-\infty
    Calculons dans un premier temps la limite de −3ex-3e^{x}
    lim⁡x→+∞−3=−3lim⁡x→+∞ex=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3} & {=} & {-3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡x→+∞−3ex=−∞\lim\limits_{x\to +\infty }-3e^{x}=-\infty

    Calculons dans un second temps la limite de −5x-5x
    lim⁡x→+∞−5=−5lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡x→+∞−5x=−∞\lim\limits_{x\to +\infty }-5x=-\infty

    On peut donc conclure :
    lim⁡x→+∞−3ex=−∞lim⁡x→+∞−5x=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3e^{x}} & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→+∞−3ex−5x=−∞\lim\limits_{x\to +\infty }-3e^{x}-5x=-\infty
    Question 8

    lim⁡x→−∞3(ex−2)\lim\limits_{x\to -\infty }3\left(e^{x} -2\right)

    Correction
    • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
    Calculons dans un premier temps la limite de ex−2e^{x}-2
    lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞−2=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2} & {=} & {-2} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→−∞ex−2=−2\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}-2=-2

    On peut donc conclure :
    lim⁡x→−∞3=3lim⁡x→−∞ex−2=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}-2} & {=} & {-2} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡x→−∞3(ex−2)=−6\lim\limits_{x\to -\infty }3(e^x-2)=-6
    Question 9

    lim⁡x→+∞ex1000\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{1000}

    Correction
    • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
    • Si on rencontre une forme +∞Nombre positif\frac{+\infty}{\text{Nombre positif} } alors la limite sera égale à +∞\red{+\infty }
    lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→+∞1000=1000}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1000} & {=} & {1000} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
    lim⁡x→+∞ex1000=+∞\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{e^{x} }{1000}=+\infty