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Limites pour aller plus loin - Exercice 2

10 min
25
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞xex+1x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x}

Correction
lim⁡x→+∞xex+1=+∞lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } xe^{x} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞xex+1x=lim⁡x→+∞xexx+1x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} }{x} +\frac{1}{x}
lim⁡x→+∞xex+1x=lim⁡x→+∞ex+1x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} +\frac{1}{x}
lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→+∞1x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞ex+1x=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} +\frac{1}{x}=+\infty

Finalement :
lim⁡x→+∞xex+1x=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} =+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞ex+x2x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2}}{x}

Correction
lim⁡x→+∞ex+x2=+∞lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} +x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞ex+x2x=lim⁡x→+∞exx+x2x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +\frac{x^{2} }{x}
lim⁡x→+∞ex+x2x=lim⁡x→+∞exx+x×xx{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +\frac{x\times x}{x}
lim⁡x→+∞ex+x2x=lim⁡x→+∞exx+x{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +x
  • Pour tout entier naturel nn non nul, on a : lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x^n } =+\infty
    • lim⁡x→+∞exx=+∞lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }x} & {=} & { +\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→+∞exx+x=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +x=+\infty

    Finalement :
    lim⁡x→+∞ex+x2x=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2}}{x} =+\infty
    Question 3

    lim⁡x→−∞(x3+x+2)ex{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{3} +x+2\right)e^{x}

    Correction
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
    • lim⁡x→−∞x3+x+2=−∞lim⁡x→−∞ex=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} +x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \end{array}\right\}
    Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
    Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
    Il vient alors que :
    lim⁡x→−∞(x3+x+2)ex=lim⁡x→−∞x3ex+lim⁡x→−∞xex+lim⁡x→−∞2ex{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{3} +x+2\right)e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{3} e^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} xe^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2e^{x}
  • Pour tout entier naturel nn non nul, on a : lim⁡x→−∞xnex=0\lim\limits_{x\to -\infty } x^ne^{x} =0
    • Ainsi :
    lim⁡x→−∞x3ex=0lim⁡x→−∞xex=0lim⁡x→−∞2ex=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x e^{x}} & {=} & { 0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x}} & {=} & { 0}\end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→−∞x3ex+lim⁡x→−∞xex+lim⁡x→−∞2ex=0{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{3} e^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} xe^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2e^{x}=0

    Finalement :
    lim⁡x→−∞(x3+x+2)ex=0{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{3} +x+2\right)e^{x}=0

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