Limites pour aller plus loin - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } xe^{x} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$
Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} }{x} +\frac{1}{x}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} +\frac{1}{x}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} +x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$
Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +\frac{x^{2} }{x}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +\frac{x\times x}{x}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +x$$$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }x} & {=} & { +\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} +x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \end{array}\right\}$$
Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{3} +x+2\right)e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{3} e^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} xe^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2e^{x}$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x e^{x}} & {=} & { 0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x}} & {=} & { 0}\end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
Finalement :