Fonction exponentielle de base $e$

Les primitives de la forme u(x)eu(x)u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} sont eu(x)e^{u\left(x\right)} - Exercice 1

20 min
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Question 1
Déterminer une\red{\text{une}} primitive sur R\mathbb{R} des fonctions suivantes :

f(x)=4e4x+1f\left(x\right)=4e^{4x+1}

Correction
  • Une primitive de la fonction u(x)eu(x)\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme eu(x)\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=4e4x+1f\left(x\right)=4e^{4x+1} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=4x+1u\left(x\right)=4x+1 et donc u(x)=4u'\left(x\right)=4
Pour tout réel xx, on a f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=4e4x+1f\left(x\right)=\blue{4}\red{e^{4x+1}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=eu(x)F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=e4x+1F\left(x\right)=\red{e^{4x+1}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 2

f(x)=6e3x5f\left(x\right)=6e^{3x-5}

Correction
    Soit k\purple{k} un réel .
  • Une primitive de la fonction k×u(x)eu(x)\purple{k}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme k×eu(x)\purple{k}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=6e3x5f\left(x\right)=6e^{3x-5} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=3x5u\left(x\right)=3x-5 et donc u(x)=3u'\left(x\right)=3
Pour tout réel xx, on a f(x)=2×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{2}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=2×3e3x5f\left(x\right)=\purple{2}\times\blue{3}\red{e^{3x-5}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=2×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{2}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=2×eu(x)F\left(x\right)=\purple{2}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=2×e3x5F\left(x\right)=\purple{2}\times\red{e^{3x-5}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 3

f(x)=2e2xf\left(x\right)=-2e^{-2x}

Correction
  • Une primitive de la fonction u(x)eu(x)\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme eu(x)\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=2e2xf\left(x\right)=-2e^{-2x} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=2xu\left(x\right)=-2x et donc u(x)=2u'\left(x\right)=-2
Pour tout réel xx, on a f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=2e2xf\left(x\right)=\blue{-2}\red{e^{-2x}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=eu(x)F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=e2xF\left(x\right)=\red{e^{-2x}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 4

f(x)=5e7x+2f\left(x\right)=5e^{7x+2}

Correction
    Soit k\purple{k} un réel .
  • Une primitive de la fonction k×u(x)eu(x)\purple{k}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme k×eu(x)\purple{k}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=5e7x+2f\left(x\right)=5e^{7x+2} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=7x2u\left(x\right)=7x-2 et donc u(x)=7u'\left(x\right)=7
Pour tout réel xx, on a f(x)=57×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=57×7e7x+2f\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\blue{7}\red{e^{7x+2}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=57×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=57×eu(x)F\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=57×e7x+2F\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\red{e^{7x+2}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 5

f(x)=0,5e0,5x+1f\left(x\right)=0,5e^{0,5x+1}

Correction
  • Une primitive de la fonction u(x)eu(x)\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme eu(x)\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=0,5e0,5x+1f\left(x\right)=0,5e^{0,5x+1} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=0,5x+1u\left(x\right)=0,5x+1 et donc u(x)=0,5u'\left(x\right)=0,5
Pour tout réel xx, on a f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=0,5e0,5x+1f\left(x\right)=\blue{0,5}\red{e^{0,5x+1}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=eu(x)F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=e0,5x+1F\left(x\right)=\red{e^{0,5x+1}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 6

f(x)=2xex25f\left(x\right)=2xe^{x^{2}-5}

Correction
  • Une primitive de la fonction u(x)eu(x)\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme eu(x)\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=2xex25f\left(x\right)=2xe^{x^{2}-5} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=x25u\left(x\right)=x^2-5 et donc u(x)=2xu'\left(x\right)=2x
Pour tout réel xx, on a f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=2xex25f\left(x\right)=\blue{2x}\red{e^{x^2-5}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=eu(x)F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=ex25F\left(x\right)=\red{e^{x^2-5}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 7

f(x)=ex+9f\left(x\right)=-e^{-x+9}

Correction
  • Une primitive de la fonction u(x)eu(x)\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme eu(x)\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=ex+9f\left(x\right)=-e^{-x+9} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=x+9u\left(x\right)=-x+9 et donc u(x)=1u'\left(x\right)=-1
Pour tout réel xx, on a f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=1ex+9f\left(x\right)=\blue{-1}\red{e^{-x+9}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=u(x)eu(x)f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=eu(x)F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=ex+9F\left(x\right)=\red{e^{-x+9}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 8

f(x)=12e2x5f\left(x\right)=12e^{2x-5}

Correction
    Soit k\purple{k} un réel .
  • Une primitive de la fonction k×u(x)eu(x)\purple{k}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme k×eu(x)\purple{k}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=12e2x5f\left(x\right)=12e^{2x-5} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=2x5u\left(x\right)=2x-5 et donc u(x)=2u'\left(x\right)=2
Pour tout réel xx, on a f(x)=6×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=6×2e2x5f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{2}\red{e^{2x-5}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=6×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=6×eu(x)F\left(x\right)=\purple{6}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=6×e2x5F\left(x\right)=\purple{6}\times\red{e^{2x-5}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 9

f(x)=18x2ex35f\left(x\right)=18x^{2}e^{x^{3}-5}

Correction
    Soit k\purple{k} un réel .
  • Une primitive de la fonction k×u(x)eu(x)\purple{k}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme k×eu(x)\purple{k}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=18x2ex35f\left(x\right)=18x^{2}e^{x^{3}-5} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=x35u\left(x\right)={x^3-5} et donc u(x)=3x2u'\left(x\right)=3x^2
Pour tout réel xx, on a f(x)=6×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=6×3x2ex35f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{3x^2}\red{e^{x^3-5}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=6×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=6×eu(x)F\left(x\right)=\purple{6}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=6×ex35F\left(x\right)=\purple{6}\times\red{e^{x^3-5}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 10

f(x)=e5x5f\left(x\right)=\frac{e^{5x} }{5}

Correction
    Soit k\purple{k} un réel .
  • Une primitive de la fonction k×u(x)eu(x)\purple{k}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme k×eu(x)\purple{k}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=e5x5=15e5xf\left(x\right)=\frac{e^{5x} }{5}={\color{purple}\frac{1}{5}}{{\color{red}e^{5x}}} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=5xu\left(x\right)={5x} et donc u(x)=5u'\left(x\right)=5
Pour tout réel xx, on a f(x)=125×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=125×5e5xf\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\blue{5}\red{e^{5x}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=125×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=125×eu(x)F\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=125×e5xF\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\red{e^{5x}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}
Question 11

f(x)=3e2x+1f\left(x\right)=3e^{2x+1}

Correction
    Soit k\purple{k} un réel .
  • Une primitive de la fonction k×u(x)eu(x)\purple{k}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est de la forme k×eu(x)\purple{k}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Soit f(x)=3e2x+1f\left(x\right)=3e^{2x+1} .
On note uu la fonction dérivable sur R\mathbb{R} par u(x)=2x+1u\left(x\right)=2x+1 et donc u(x)=2u'\left(x\right)=2
Pour tout réel xx, on a f(x)=32×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} c'est à dire f(x)=32×2e2x+1f\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\blue{2}\red{e^{2x+1}}
Il en résulte donc qu'une primitive de f(x)=32×u(x)eu(x)f\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}} est la fonction F(x)=32×eu(x)F\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\red{e^{u\left(x\right)}}
Finalement, la fonction
F(x)=32×e2x+1F\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\red{e^{2x+1}}
est une primitive de ff sur R\mathbb{R}