Le nombre $e$ et la courbe de la fonction exponentielle - Exercice 1

10 min

On note

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f\left(x\right)=e^{x}

\mathcal{C}

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Question 1

À l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs ci-dessous (valeurs arrondies au centième).

Correction

\text{\purple{La fonction exponentielle}}

La fonction exponentielle est la fonction $x\mapsto e^{x}$ , où $e\approx 2{,}718$ est le ${\color{blue}{\text{nombre d'Euler}}}$ .
Pour tout réel $x$ : $e^{x}>0$ . De plus, $e^{0}=1$ et $e^{1}=e$ .
Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ : elle est ${\color{blue}{\text{strictement croissante}}}$ sur $\mathbb{R}$ .
$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}=0$ : l'axe des abscisses est ${\color{blue}{\text{asymptote}}}$ à sa courbe en $-\infty$ ; $\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}=+\infty$ .

La calculatrice donne par exemple

e^{-2}\approx 0{,}1353

, que l'on arrondit à

0{,}14

, et

e^{0{,}5}\approx 1{,}6487

, que l'on arrondit à

1{,}65

On retrouve

e^{0}=1

e^{1}=e\approx 2{,}72

. Les valeurs augmentent avec

x

, car la fonction exponentielle est croissante, et elles restent toutes strictement positives.

Question 2

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous avec les points du tableau. Expliquer pourquoi elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, puis décrire son comportement quand $x$ tend vers $-\infty$ .

Correction

Pour tout réel

x

e^{x}>0

: tous les points de

\mathcal{C}

ont une ordonnée strictement positive, donc la courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
De plus,

\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}=0

: quand

x

tend vers

-\infty

, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher.
On dit que l'axe des abscisses est

{\color{blue}{\text{asymptote}}}

\mathcal{C}

-\infty

Question 3

Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ .

Correction

\text{\purple{Équation d'une tangente}}

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$ .

Ici

f'\left(x\right)=e^{x}

. En

a=0

f\left(0\right)=e^{0}=1

f'\left(0\right)=e^{0}=1

.
Donc

y=1\times\left(x-0\right)+1

, c'est-à-dire :

T : y=x+1

On observe que la courbe

\mathcal{C}

est au-dessus de sa tangente

T

: on admet que, pour tout réel

x

e^{x}\geqslant x+1

Question 4

Déterminer une équation de la tangente $T'$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ , puis vérifier qu'elle passe par l'origine du repère.

Correction

a=1

f\left(1\right)=e^{1}=e

f'\left(1\right)=e^{1}=e

.
Donc

y=e\left(x-1\right)+e=ex-e+e

, c'est-à-dire :

T' : y=ex

Pour

x=0

, on obtient

y=e\times0=0

: la tangente

T'

passe par l'origine

O

du repère.

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Le nombre eee et la courbe de la fonction exponentielle - Exercice 1

À l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs ci-dessous (valeurs arrondies au centième).

La courbe C\mathcal{C}C est tracée ci-dessous avec les points du tableau. Expliquer pourquoi elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, puis décrire son comportement quand xxx tend vers −∞-\infty−∞.

Déterminer une équation de la tangente TTT à C\mathcal{C}C au point d'abscisse 000.

Déterminer une équation de la tangente T′T'T′ à C\mathcal{C}C au point d'abscisse 111, puis vérifier qu'elle passe par l'origine du repère.

Le nombre $e$ et la courbe de la fonction exponentielle - Exercice 1

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous avec les points du tableau. Expliquer pourquoi elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, puis décrire son comportement quand $x$ tend vers $-\infty$ .

Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ .

Déterminer une équation de la tangente $T'$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ , puis vérifier qu'elle passe par l'origine du repère.